Значит, наибольший толчок развитию математики дает именно физика? Или компьютерный мир тоже?
- Полагаю, что и физика, и компьютерный мир. Физика мне ближе, я все-таки занимаюсь сейчас гамильтоновыми системами и вижу массу новых идей, возникающих из приложений в физике и механике. Второе, что я вижу, - в компьютерном мире (понимаемом широко) возникает очень много идей, которые важны для фундаментальной математики. Я бы назвал еще и биологию как важный источник задач для современной математики. Но это лишь то, что связано с моими собственными научными интересами.
Над чем вы сейчас работаете?
- Над проблемой интегрирования гамильтоновых систем дифференциальных уравнений (эти системы возникают в огромном количестве задач классической механики и других областей физики. - Л.Л.-М.). Недавно мы с моими сотрудниками открыли новые инварианты таких систем, позволяющие их классифицировать. Есть известная прикладная задача: даны две системы дифференциальных уравнений, описывающие какие-нибудь процессы, вопрос - эквивалентны ли эти системы? Может быть, на самом деле процесс один и тот же, просто уравнения записаны в разных системах координат? Желательно иметь такие инварианты, которые можно вычислить для каждой из систем и посмотреть: если инварианты совпали, то системы эквивалентны, не совпали - не эквивалентны. Вот такие инварианты мы нашли несколько лет тому назад - это графы с некоторыми метками. Они применимы к разным классам систем, в первую очередь к динамике твердого тела - к движению твердого тела в жидкости, в том числе намагниченной, к движению тела с полостями, тела с неголономными связями. В частности, мы с А. Болсиновым доказали теорему об эквивалентности двух известных систем уравнений: движения твердого тела (случай Эйлера с закрепленной точкой) и динамики геодезических на эллипсоиде. Причем там очень тонкий эффект - эквивалентность есть, но ее нельзя сделать гладкой.
Теория узлов
В отличие от функций Морса и гомологий, теория узлов имеет дело не с многомерными абстракциями, а с узлами в самом прямом житейском смысле слова - заплетенными веревками со связанными концами. До сих пор никому не удалось найти алгоритм, определяющий, одинаковы ли два заданных узла - то есть можно ли один из них превратить в другой, не разрывая и не развязывая веревку. Если бы мы жили в плоскости, никаких узлов у нас бы не было - их в плоскость не засунешь. В четырехмерном пространстве любой узел можно превратить в обычное колечко, а его потом - в любой другой узел, так что вопрос снимается. Но вот в нашем 3D узлы оказались настолько запутанными, что вокруг них образовалась целая наука - как теперь выясняется, имеющая прямой выход в квантовую теорию поля. На рисунке - сложный на вид узел, но - кто бы мог подумать! - это лишь иллюзия, перед нами обычное, незаузленное кольцо.
Это затягивает
Что сейчас мотивирует студентов мехмата? Они нацелены именно на науку или просто хотят получить хорошее образование, престижный диплом, чтобы затем заняться чем-нибудь другим?
- Как всегда - далеко не все видят себя будущими учеными.
Как всегда? То есть радикальных изменений вы не замечаете?
- Нет, не замечаю. И раньше основная масса студентов хотела получить хорошее образование, которое обеспечит им достойное место в обществе. Наши студенты пять лет учатся совершенно уникальному способу мышления. Тут и логика, и гибкость формирования понятий, и умение формализовать прикладную задачу для математики. Это получают все, даже не круглые отличники. В этом, собственно, основная польза от изучения фундаментальных наук - математики, по крайней мере. Но тех, кто потом пойдет работать в фундаментальную науку, немного. Таких действительно стало меньше, чем раньше, поскольку в последние годы был внедрен новый тип психологии - стремление зарабатывать деньги. Это хорошо. Но есть люди, которые понимают, что не в деньгах счастье. И которые странным образом - разумеется, от денег не отказываясь, - видят свое будущее в более… ну, что ли, идеализированном виде. Такие ребята всегда были и будут, на них, собственно, и держится фундаментальная наука. Они хотят получить в жизни минимальный фундамент под ногами, но в целом ориентированы на эдакую идеальную действительность.
Нет ли у вас ощущения, что теперь у студентов не то чтобы культурный уровень снизился, а просто это другой культурный слой, не тот, что раньше?
- Это есть. И опять же объясняется сменой идеологии. Ребята, начиная с 4–5-го курса, вынуждены зарабатывать деньги. Причем не всегда потому, что не хватает на жизнь. Их подталкивает атмосфера в обществе в целом: идея, что необходимо иметь большие деньги. Это мешает многим, рождает прагматизм, в целом студенты стали более прагматичны. Раньше, когда зарплаты были более-менее унифицированы, для каждого слоя был свой уровень доходов: кандидат, доктор, профессор, инженер. В те годы люди тратили меньше свободного времени на зарабатывание дополнительных денег. Сейчас вы можете, потратив свое время, заработать денег все больше, больше, больше и больше. Далеко не все могут на этом пути остановиться, в том числе и студенты. Это затягивает. Это увлекает. Ты можешь обедать в студенческой столовой, или в профессорской столовой на втором этаже, или в кафе, в ресторане, в шикарном отеле - верхней границы нет.
Многих привлекает процесс подъема по жизненным ступенькам. В итоге у людей не остается времени, которое раньше мы отдавали культуре, искусству, хобби, разговорам о живописи, о науке, о музыке, о театрах, о путешествиях, о книгах, о стихах. В коридорах мехмата все реже слышишь такие разговоры. Это накладывает заметный отпечаток на среду в целом. Она изменилась. Я не знаю, хуже это или лучше. Но думаю, что это не очень хорошо.
Как же может развиваться дальше мир или страна, чтобы ситуация изменилась? Какие могут быть сценарии?
- Не знаю. Вернуться в прошлое невозможно, нельзя войти в одну реку дважды. Но тот капитализм, который существует у нас, вредит более широкому, научному взгляду на жизнь.
А как же Запад, опять-таки: там все это существует уже давно, и тем не менее..
- Российская культура всегда была и пока остается более широкой, энциклопедической. Запад уже давно предпочел идеологию узкой специализации, вследствие чего нередко достигается высокий спортивный результат в каждой области, когда все брошено на достижение одной цели. Это очень хорошо и важно, но за это приходится платить - людям и обществу в целом - меньшим энциклопедизмом, чем у нас. То же самое мы видим и в математике. Это разные стили мышления. Неясно, что лучше или хуже, и там и там есть плюсы и минусы - просто разный стиль.
Кто поднимает заслонку?
Больше тридцати лет назад вы делали на мехмате доклад о топологическом подходе к строению натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …
- Да, было такое.
Там был очень необычный подход к самым основам математики. Думаете ли вы время от времени о такого рода "вечных вопросах"?
- О строении натурального ряда думаю, но, к сожалению, только изредка. Эта работа - точнее, просто мысль, идея, - была давно, она меня сильно увлекала и до сих пор увлекает: как описать поведение очень больших чисел. Настолько больших, что они даже чуть-чуть "размытыми" становятся. Это ни к чему конкретному не привело, и времени на это у меня не очень много. Но иногда такие мысли всплывают, и они мне очень нравятся - несмотря на то что ничего конкретного доказать я, может быть, и не смогу. Однако просто для себя полезно поразмышлять в неформализованном, чисто интуитивном стиле. Я хорошо понимаю Анри Пуанкаре (он один из авторов интуиционизма в математике), который считал интуицию важнейшей формой математического мышления. Это вещь абсолютно неформализуемая. У каждого математика есть свое представление об этом, его очень трудно объяснить. Да и не нужно. Но интуиция сродни озарению - озарение вещь тоже очень зыбкая, философски трудно объяснимая, трудно комментируемая, - но это работает. Интуиция и озарение - одно и то же по большому счету. У меня к этому есть склонность, вкус, к тому же я понимаю, что такие размышления иногда помогают даже в конкретных задачах.
Вы, наверное, не допускаете возможности, что человеческое мышление удастся смоделировать на компьютере?
- Ой, не знаю. Это очень интересная проблема, и у нас на факультете есть известная кафедра теории интеллектуальных систем, которая пытается эти вопросы формализовать. Тут я боюсь прогнозировать, можно ли смоделировать хоть часть нашего мышления на компьютере, пусть даже на квантовом. Пропагандисты квантовых вычислений, кстати, надеются научиться моделировать интеллект. Не знаю. Тут я не специалист, но сомневаюсь, что это возможно. По крайней мере, маловероятно. Такой разговор выходит совсем уж за рамки математики - но у меня есть ощущение, что смоделировать мышление даже на квантовом компьютере не удастся.
