class="image">
То есть в десятичной: 64 + 2 = 66.
Если бы в коробке было 57 спичек, мы имели бы иные схемы.
Искомое число, написанное по двоичной системе:
А в десятичной: 33 + 16 + 8 + 1 = 57.
Для разнообразия можно также пользоваться двумя и более спичечными коробками и отгадывать сумму заключающихся в них спичек.
Третье видоизменение того же фокуса представляет собою своеобразный способ отгадывания задуманного по спичкам. Загадавший должен мысленно делить задуманное число пополам, полученную половину опять пополам и т. д. (от нечетного числа отбрасывая единицу), при каждом делении класть перед собой спичку: направленную вдоль стола, если делится число четное; поперек, если приходится делить нечетное. К концу операции получается фигура вроде следующей:
Вы всматриваетесь в эту фигуру и безошибочно называете задуманное число: 137. Как вы узнаете его?
Способ станет ясен сам собою, если в выбранном примере (137) мы последовательно обозначим возле каждой спички то число, при делении которого она была положена:
Теперь понятно, что так как последняя спичка во всех случаях обозначает число 1, то не составляет труда, восходя от нее к предшествующим делениям, добраться до первоначально задуманного числа. Например, по фигуре
вы можете вычислить, что задумано было число 664. В самом деле, выполняя последовательно удвоения (начиная с конца) и не забывая прибавлять в надлежащих местах единицу, получаем:
Таким образом, пользуясь спичками, вы прослеживаете ход чужих мыслей, восстановляя всю цепь умозаключений.
Тот же результат мы можем получить иначе, сообразив, что лежащая спичка в данном случае должна соответствовать в двоичной системе нулю (деление на 2 без остатка), а стоящая – единице. Таким образом, в предшествовавшем примере мы имеем (читая справа налево) число
или в десятичной системе так:
128 + 8 + 1 = 137.
А в последнем примере задуманное число изображается по двоичной системе:
или по десятичной:
512 + 128 + 16 + 8 + 1 = 664.
Еще пример. Какое число было задумано, если из спичек получилась фигура:
Решение: 10010101 в двоичной системе, а в десятичной:
128 + 16 + 4+ 1 = 139.
Необходимо заметить, что получаемая при последнем делении единица также должна быть отмечаема стоящей спичкой.
У некоторых читателей, вероятно, возник уже вопрос: почему для выполнения описанных раньше опытов мы пользуемся именно двоичной системой? Ведь всякое число можно изобразить в любой системе, между прочим, и в десятичной. Чем же объясняется предпочтение двоичной?
Объясняется оно тем, что в этой системе, кроме нуля, употребляется всего одна цифра – единица, а следовательно, число составляется из различных степеней 2, взятых только по одному разу. Если бы в фокусе с конвертами мы распределили деньги, например, по 5-ричной системе, то могли бы составить, не вскрывая конвертов, любую сумму лишь в том случае, когда каждый пакет повторяется у нас не менее 4 раз (в 5-ричной системе, кроме нуля, употребляются ведь 4 цифры).
Впрочем, бывают случаи, когда для подобных надобностей удобнее пользоваться не двоичной, а троичной системой, несколько видоизмененной. Сюда относится знаменитая старинная «задача о системе гирь», которая может послужить сюжетом и для арифметического фокуса.
Представьте, что вам предложили придумать систему из 4 гирь, с помощью которых возможно было бы отвесить любое целое число фунтов от 1 до 40. Двоичная система подсказывает вам набор:
1 ф., 2 ф., 4 ф., 8 ф., 16 ф.,
которым можно отвешивать все грузы от 1 до 31 фунта. Но это, очевидно, не удовлетворяет требуемым условиям ни по числу гирь, ни по предельному грузу (31 ф. вместо 40 ф.). С другой стороны, однако, вы не использовали здесь предоставляемой весами возможности – класть гири не только на одну чашку весов, но и на две, т. е. пользоваться не только суммою гирь, но и их разностью. Это дает так много разнообразных комбинаций, что вы совершенно теряетесь в поисках, не умея уложить их в какую-либо систему. Если вам не посчастливится напасть на правильный путь, вы готовы будете даже сомневаться вообще в разрешимости подобной задачи таким малым числом гирь, как четыре.
Но посвященный выходит из затруднения с волшебной простотой, намечая следующие 4 гири:
1ф.,3ф.,9ф.,27ф.
Любое целое число фунтов, в пределах одного пуда, вы можете отвесить такими гирями, кладя их то на одну, то на обе чашки весов. Не приводим примеров, потому что каждый легко может убедиться сам в полной пригодности такого набора гирь для нашей цели. Остановимся лучше на том, почему именно указанный ряд обладает этим свойством. Вероятно, читатели уже заметили, что числа эти – ряд степеней числа 3 [27].
30, 31, 32, 33.
Другими словами, мы обращаемся здесь к услугам троичной системы счисления. Но как воспользоваться ею в тех случаях, когда требуемый вес получается в виде разности двух гирь? И как избегнуть необходимости обращаться к удвоению гирь (в троичной системе ведь, кроме нуля, употребляются две цифры: 1 и 2)? То и другое достигается введением «отрицательных» цифр; дело сводится попросту к тому, что вместо цифры 2 употребляют 3–1, т. е. цифру единицы высшего разряда, от которого отнимается одна единица низшего. Например, число 2 в нашей видоизмененной троичной системе обозначится не 2, а 11, где знак минус над цифрой единиц означает, что эта единица не прибавляется, а отнимается. Точно так же число 5 изобразится не 12, а
(т. е. 9–3 – 1 = 5). Первые десять чисел изобразятся в этой упрощенной троичной системе следующим образом:
Теперь ясно, что если любое число можно изобразить в троичной системе с помощью нуля (т. е. знака отсутствия числа) и одной только цифры, именно прибавляемой или отнимаемой единицы, – то из чисел 1,
3, 9, 27 можно, складывая или вычитая их, составить все числа от 1 до 40. Случай сложения отвечает при взвешивании тому случаю, когда
