Вопросы Кота становились всё труднее!
— Жаль, что здесь нет глобуса или хотя бы мяча, — сказала Алиса. — Я бы показала вам, что такое линия горизонта, и вы бы тогда поняли...
— Лови! — крикнул Кот, бросая Алисе неизвестно откуда взявшийся голубой мяч.
Она поймала мяч и стала объяснять дальше.
— Представьте, что это земной шар, и здесь находится корабль, — прикоснулась Алиса к мячу. — И пусть этот корабль уплывает от нас... — Она повела пальцем по поверхности мяча. — Видите: когда корабль уплывает далеко, он как бы прячется за Землю! Это и означает, что корабль уходит за линию горизонта... Так что, как видите, линия горизонта — это воображаемая линия...
— Вижу? — перебил Кот. — Но ты же говорила, что воображаемое увидеть нельзя!
— Получается, что можно, — признала Алиса.
— То-то же, — сказал Кот. — Настоящее и воображаемое так переплетены друг с другом, что в одном без другого просто не разберёшься! А вот скажи: у мяча линия горизонта — настоящая или воображаемая?
— Но разве у мяча есть линия горизонта? — удивилась Алиса и вдруг заметила, что на голубом мяче начали проступать жёлто-зелёные пятна со знакомыми очертаниями: она держала в руках уже не мяч, а глобус!
Алиса держала глобус, касаясь Северного и Южного полюсов, и в следующее мгновение ощутила жгучий холод: глобус превратился в маленький земной шар! Она отдернула руки, и земной шар медленно поплыл в пространстве.
Когда Алиса пришла в себя от удивления, земной шар был уже далеко.
— Земля и мяч действительно очень похожи друг на друга, — сказала Алиса, провожая взглядом уплывающий мяч-глобус-земной шар.
— Они не просто похожи, — отозвался Кот. — Они подобны друг другу!
— Что это значит? — не поняла Алиса.
— Это значит, что у них одинаковая форма, — ответил Кот.
— А что такое форма? — задала Алиса новый вопрос (она была довольна, что теперь, наконец, спрашивает она!).
— Сейчас ты поймёшь это на собственном примере, — сказал Кот и стал так быстро увеличиваться, что Алиса испугалась.
— Ты стала сейчас в десять раз меньше, — к её удивлению сказал Кот, — но форма твоя осталась прежней.
— По-моему, я осталась такой же, какой была, — возразила Алиса, оправившись от испуга. — А вот вы стали в десять раз больше!
— Нет, — стоял на своем Кот. — Это ты стала меньше! Впрочем, — посмотрел он по сторонам, — здесь мы всё равно не сможем разрешить наш спор.
— Конечно, — согласилась Алиса, тоже посмотрев вокруг. — Ведь здесь мы можем сравнивать себя только друг с другом!
И Кот сразу же уменьшился до размеров Алисы. (Или Алиса увеличилась до размеров Кота? Это осталось загадкой!).
— Кажется, я поняла, что такое форма, — сказала Алиса. — Это то, что сохраняется, когда меняются только размеры!
— Правильно, — подтвердил Кот. — Так вот, скажи: форма — это что-то настоящее или воображаемое?
— Наверное, воображаемое, — ответила Алиса. — Хотя все настоящие предметы обязательно имеют какую-то форму, но ведь самой по себе формы без предмета не существует!
— В том-то и дело, — отозвался Кот. — А ты говорила, что настоящее так просто отделить от воображаемого!
— Теперь я вижу, что это действительно не так просто, — согласилась Алиса.
Она хотела обдумать это получше, но Кот спросил:
— А как ты думаешь: числа — настоящие или воображаемые?
— С помощью чисел считают настоящие предметы, — начала размышлять вслух Алиса, — числа можно увидеть...
— Ты когда-нибудь видела хотя бы одно число? — удивился Кот.
— Я видела много разных чисел! — воскликнула Алиса. — Если бы здесь были карандаш и бумага...
Кот протянул Алисе большой белый лист бумаги и карандаш, и она нарисовала большую красивую пятерку.
— Вот число «пять», — сказала Алиса.
— Я вижу только цифру «пять», — возразил Кот.
— Но разве цифра — это не число? — удивилась Алиса.
— Конечно, нет! — воскликнул Кот. — С помощью цифр только записывают числа, да и то в разные времена разные народы делали это по-разному. Древние египтяне, например, записывали число «пять» так, Кот нарисовал пять палочек:
— А у древних римлян, — продолжал Кот, — для числа «пять» был такой знак:
— Действительно, числа и цифры — это не одно и то же, — признала Алиса, глядя на разные записи числа «пять». — И всё-таки мне трудно поверить, что числа — только воображаемые... Например, пять девочек можно не только вообразить — они могут быть и на самом деле! У меня как раз пять подружек...
— Они приходят к тебе в гости? — поинтересовался Кот.
— Как раз позавчера они приходили на чай, — сказала Алиса.
— И перед каждой из них поставили одну чашку? — спросил Кот.
— Конечно! — удивилась Алиса такому странному вопросу.
— Тогда скажи, — продолжал Кот, — было ли что-нибудь общее у девочек и чашек?
Алиса закрыла глаза и представила стол, за которым сидят пять ее подружек, и перед каждой из них стоит чашка чая — чашек, конечно, тоже было пять...
— Тоже пять! — осенило Алису, и она радостно воскликнула: — Девочек и чашек одинаковое число!
— Правильно! — обрадовался Кот не меньше Алисы. — Число — это и есть то общее, что есть у пяти девочек, пяти чашек, пяти пальцев и даже пяти чувств! Вот и скажи теперь: число — это настоящее или воображаемое?
— Наверное, тоже воображаемое, — признала Алиса. — Но отделить число девочек от самих девочек довольно трудно...
— Трудно, — согласился Кот, — но можно! Как видишь, для того, чтобы по-настоящему разобраться в настоящем, надо иметь хорошее воображение!
Кот сделал знак лапой, и от Алисы к звёздам протянулся ряд светящихся цифр — ими были записаны числа, которые стояли по порядку: 1, 2, 3, 4, 5... Числа выстроились как раз вдоль светящейся струны и уходили вдаль, насколько хватал глаз. Алиса, как зачарованная, смотрела на светящийся ряд чисел: он был очень красив на фоне звёздного неба!
— Вот чудо, с которого начинается вся математика, — торжественно произнёс Кот. — Оно называется «натуральный ряд».
Алиса повернулась к Коту, но обнаружила, что от него осталась одна улыбка. Несколько секунд улыбка Кота ещё витала в пространстве и, наконец, исчезла совсем.
Алиса ступила на струну и пошла вдоль светящихся чисел.
Было время, когда человек уже был человеком, но считать ещё не умел. Точнее, он знал только два числа: «один» и «много». Потом это «много» стало отодвигаться всё дальше и дальше — появились числа «два», «три»... — но это было так медленно, что на каждое новое число уходили столетия, а то и тысячелетия!
Представьте себе: человек уже делал замечательные каменные орудия, западни для диких зверей, шил одежду из шкур — и всё это — проявляя чудеса изобретательности! А вот считать человек не умел. Почему?
Как ни странно, потому, что ему трудно было заметить сходство предметов! Считать ведь можно только предметы, похожие чем-то друг на друга, а первобытному человеку всё казалось различным. Каждый человек из его племени был для него особенным — с каждым его связывали свои особые отношения: ведь всё племя было одной большой семьёй. Каждый зверь, убитый на охоте, тоже был единственным в своем роде — ведь каждая охота запоминалась надолго: она была настолько опасной, что могла стать последней. Вообще мир виделся первобытному человеку намного ярче, чем нам сегодня: даже деревья в лесу не казались ему одинаковыми — глаз его всегда искал, чем отличается одно дерево от другого (иначе легко было заблудиться и погибнуть!).
Однако постепенно человек начинал замечать сходство предметов, а когда люди стали чем-то обмениваться друг с другом, например, менять шкуры зверей на каменные топоры, появилась и потребность в счёте. Самый важный шаг был сделан, когда человек догадался заменить при счёте одни предметы другими, более удобными, потому что они всегда под рукой — например, камешками или раковинами. И когда человек заметил, что у двух шкур и двух камешков есть что-то общее, он сделал одно из величайших изобретений за всю человеческую историю — он изобрёл число!
Со временем человек обнаружил, что удобнее всего пользоваться для счёта предметами, которые находятся на самой его руке, то есть пальцами. Так человек начал считать пятёрками, десятками и двадцатками (в ход шли и пальцы ног!). Счёт десятками сохранился и в нашей десятичной системе счисления. Сохранились и названия некоторых чисел, связанные с первой «вычислительной машиной» — пальцами рук и ног: например, слово «пять» в русском языке происходит от древнеславянского слова «пясть» — рука (вспомните слово «запястье»). А у некоторых племён число «двадцать» называлось «весь человек»!
