— Как красиво! — невольно вырвалось у Алисы.
— Не только красиво, но и удобно, — одобрил Шалтай-Болтай. — Теперь сразу видно, какие числа делятся на семь!
— Действительно, — присмотревшись, согласилась Алиса. — Все такие числа — фиолетовые!
— Кстати о делении, — воскликнул Шалтай-Болтай. — Сейчас я покажу тебе особенно замечательное число! — с неожиданной легкостью он вскочил на ножки, взял Алису за руку, и они побежали по струне.
Вдруг Шалтай-Болтай так резко остановился, что Алиса чуть не столкнула его со струны.
— Вот! — показал он на число «60».
— Чем же это число замечательно? — поинтересовалась Алиса.
— Разве тебе не видно? — удивился Шалтай-Болтай. — Шестьдесят делится на один, на два, на три, на четыре, на пять, на шесть, на десять, на двенадцать, на пятнадцать, на двадцать, на тридцать и на шестьдесят!
— Это действительно замечательно, — согласилась Алиса. — Но разве это можно увидеть?
— Конечно, Можно! — сказал Шалтай-Болтай. — Представь, что у тебя шестьдесят солдатиков...
— Мне легче представить кукол, чем солдатиков, — заметила Алиса.
— Представляй, — согласился Шалтай-Болтай. — Но чтобы их было ровно шестьдесят!
И Алиса постаралась представить шестьдесят кукол — это было не так просто, потому что, представляя кукол, она должна была их считать!
Через минуту куклы уже кружились вокруг Алисы и Шалтая-Болтая.
— Ты уверена, что их шестьдесят? — спросил Шалтай-Болтай, уворачиваясь от кукол, которые налетали на него со всех сторон.
— Не очень, — призналась Алиса.
— А ну-ка, станьте в пары! — крикнул куклам Шалтай-Болтай.
И хотя куклы не солдатики, они тут же выполнили приказание. Каждой кукле нашлась пара.
— Число кукол делится на два, — заключил Шалтай-Болтай. — Ты это видишь?
— Да, — подтвердила Алиса.
— А теперь возьмитесь за руки по три! — снова скомандовал Шалтай-Болтай.
Куклы опять послушались; и на этот раз «лишних» кукол тоже не осталось.
— Число кукол делится и на три! — воскликнула Алиса и приказала сама:
— Возьмитесь за руки по четыре!
Таким образом Алиса быстро проверила, что число кукол делится на четыре, на пять и на шесть; когда куклы взялись за руки по шесть, они образовали кружки, и Алиса легко пересчитала, что кружков как раз десять.
— Их ровно шестьдесят — теперь это видно! — воскликнула Алиса. — И то, что шестьдесят делится на два, на три, на четыре, на пять, на шесть и на десять, я тоже видела. Действительно, шестьдесят — замечательное число!
— А теперь посмотри на числа, которые стоят с ним рядом, — предложил Шалтай-Болтай. — Ни пятьдесят девять, ни шестьдесят один не делятся ни на одно число, кроме, конечно, единицы и самих себя.
— Значит, эти числа — ничем не замечательные? — спросила Алиса.
— Наоборот! — возразил Шалтай-Болтай. — Они как раз тем и замечательны, что делятся только на два числа — на единицу и само себя. Такие числа называются простыми.
— А как называются остальные числа? — поинтересовалась Алиса.
— Почти все остальные числа называются составными, — ответил Шалтай-Болтай. — Любое из них можно составить, умножая простые числа друг на друга: например, шесть — это два умножить на три, а шестьдесят — это два умножить на два, потом на три и еще на пять.
— Понятно, — сказала Алиса. — Но почему вы сказали «почти»? Разве есть числа, которые не простые и не составные?
— Есть, — загадочно произнёс Шалтай-Болтай. — Правда, такое число — одно-единственное!
— Какое? — заинтересовалась Алиса.
— Попробуй угадать, — ответил Шалтай-Болтай. — Мы сейчас мимо него пройдём: смотри внимательно! — И, покачиваясь на тонких ножках, он пошёл по струне к началу натурального ряда.
Алиса последовала за ним, глядя на числа, мимо которых они проходили: какое же из них то единственное число, которое и не простое и не составное?
— Пятьдесят восемь? — думала Алиса. — Это число делится на два — значит, оно составное... Пятьдесят семь? Делится на три — составное... Пятьдесят шесть? Тоже делится на два... кстати, все чётные числа делятся на два, значит, все они составные — буду поэтому следить только за нечетными числами! Пятьдесят пять делится на пять — составное... Пятьдесят три... на что же оно делится? Кажется, ни на что! Может, это и есть то число, которое не простое и не составное? Ах нет, оно же делится на само себя и на единицу — значит, это простое число! Так ведь любое же число делится на себя и на единицу! И если оно ни на что больше не делится, то оно простое, а если делится, то составное! Неужели Шалтай-Болтай меня просто дурачит?
Пройдя мимо всех чисел, Шалтай-Болтай уселся на то место, где сидел вначале, когда Алиса приняла его за нуль. Сама Алиса остановилась рядом с ним, перед единицей.
— Ну что? — спросил Шалтай-Болтай. — Догадалась, какое число не простое и не составное?
— По-моему, такого числа нет, — решительно сказала Алиса. — Любое натуральное число либо простое, либо составное: если оно делится на какое-то другое число, то оно составное, а если не делится, то простое — ведь на единицу и само себя делится любое число!
— И! — воскликнул Шалтай-Болтай.
— Что «и»? — испугалась Алиса: она решила, что Шалтаю-Болтаю стало плохо.
— На единицу и само себя! — спокойно пояснил Шалтай-Болтай. — Любое простое число делится на два разных числа: единицу и само себя. Но есть такое число, которое делится только на одно число...
— Это единица! — догадалась Алиса, глядя на число, перед которым она как раз стояла.
— Ну что, ловко я тебя провёл? — с довольным видом спросил Шалтай-Болтай. — Но ты не огорчайся: зато теперь ты знаешь, что особенного в числе «один»! А вот скажи: что особенного в числе «два»?
— Это чётное число, — начала размышлять вслух Алиса, — но ведь чётных чисел много...
— Их бесконечно много, — заверил Шалтай-Болтай. — Ведь к любому чётному числу можно прибавить два, и получится большее чётное число!
— Значит, в том, что два — чётное число, ничего особенного нет, — заключила Алиса, продолжая рассуждать вслух. — Кроме того, два — простое число, потому что оно делится на два разных числа — на само себя и на единицу... Но ведь простых чисел тоже, наверное, много?
— Давай посмотрим, — предложил Шалтай-Болтай, и ряд чисел померк: многие числа погасли. В начале ряда, например, светились только числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
— Это простые числа! — догадалась Алиса. — И конца им не видно...
— Не видно, — согласился Шалтай-Болтай. — А что видно?
— Видно, что некоторые простые числа стоят почти рядом, а между другими — большие промежутки... — заметила Алиса.
— У тебя неплохое зрение, — отметил Шалтай-Болтай. — А что тебе ещё видно?
— Чем дальше, тем промежутки становятся всё больше и больше, — присмотревшись, ответила Алиса, — поэтому кажется, что ряд простых чисел становится всё реже и реже...
— Это не только кажется, — отозвался Шалтай-Болтай. — Так оно и есть на самом деле. Не наводит ли это тебя на какую-то мысль?
— Наводит, — подумав, сказала Алиса. — Если простые числа встречаются всё реже и реже, значит, где-то они заканчиваются совсем?
— То есть, ты думаешь, что есть какое-то самое большое простое число? — уточнил Шалтай-Болтай.
— Так мне кажется, — осторожно ответила Алиса.
— А вот это тебе действительно только кажется! — обрадовался Шалтай-Болтай так сильно, что стал даже подскакивать на струне, то и дело рискуя свалиться с неё. — Я тебя снова провёл! Самого большого простого числа не существует, потому что простых чисел бесконечно много!
— Но откуда это известно? — возразила Алиса. — Ведь если к простому числу прибавить два, то совсем не обязательно получится снова простое число: например если к семи...
— С простыми числами не всё так просто! — перебил Шалтай-Болтай. — Хотя они и называются простыми, разобраться в них труднее всего! Но то, что их бесконечно много, доказать не так трудно. Это доказал еще Евклид...
— Евклид? — радостно воскликнула Алиса. — Я видела его...
— Евклида?! — поразился Шалтай-Болтай и с интересом посмотрел на Алису. — Тогда ты неплохо сохранилась!
— Я видела его портрет в учебнике математики, — объяснила Алиса. — Кажется, он был древним греком?
— Не таким уж он был и древним, — отозвался Шалтай-Болтай. — Он и до шестидесяти не дожил... Так ты поняла уже, что особенного в числе два?
— Ещё нет, — сказала Алиса. — Два — число чётное и простое... но ведь и тех и других чисел бесконечно много...
— Два — это единственное число, которое и чётное и простое одновременно! — торжественно произнёс Шалтай-Болтай, показывая на двойку. — Подумай только — единственное из бесконечно многих!
