любопытный счетный прием? Мы поймем это, если изобразим его в общем виде. Маленькая экскурсия в область «общей арифметики», т. е. алгебры, убедит нас прежде всего, что этот способ должен давать правильные результаты во всех случаях от 6 × 6 до 10 × 10. Каждое число, большее пяти, мы можем представить в таком виде:
5 + а, 5 + b или 5 + с и т. п.
Во всех этих выражениях буквами а, Ь, с обозначены избытки числа над 5. Если мы имеем дело только с числами не свыше 10, то а, Ь, с меньше 5. Произведение двух чисел больших пяти, в таком обозначении, изобразится следующим образом:
(5 + а) × (5 + b)
или, – так как в алгебре знака умножения в подобных случаях не пишут, —
(5 + а) (5 + b).
А что мы делаем, когда умножаем с помощью пальцев? Загибаем на одной руке а пальцев, на другой – Ь, оставляя незагнутыми остальные пальцы, т. е. на одной руке (5 – а), на другой (5 – Ь) пальцев. Затем складываем а + b и получаем цифру десятков, т. е. число
10 (а + Ь).
К нему прибавляем произведение чисел на загнутых пальцах, т. е.
(5 – а) (5-Ь).
И следовательно, в результате получаем:
10 (а + b) + (5 – а) (5-Ь).
Если выполним умножения, обозначенные скобками, мы будем иметь:
10а + 10b + 25 – 5а – 5b + ab.
Но так как 10а – 5а = 5а, а 10b – 5b = 5b, то строка упрощается и получает вид:
25 + 5а + 5b + ab,
т. е. то же самое, что получилось бы от непосредственного умножения данных нам множителей (5 + а) и (5 + Ь):
(5 + а)(5 + Ь) = 25 + 5а + 5b + ab.
Короче, все действия на пальцах можно представить в общем виде так:
А это выражение, мы уже знаем, равно (5 + а) (5 + Ь).
Мы сказали в самом начале статьи, что умножение на пальцах можно выполнять до 15 × 15. Как же
это делается? Несколько иначе, чем умножение до 10 × 10. Пусть требуется умножить 12 × 14. Загибаем на руках избыток множителей над 10 (а не над 5, как раньше), т. е. на одной руке 2 пальца, на другой – 4. Складываем 2 + 4, приписываем нуль, прибавляем произведение тех же чисел 2 и 4 (а не чисел незагнутых пальцев) и, кроме того, во всех случаях прибавляем 100. Имеем:
12 × 14 = 100 + (2 + 4) 10 + 2 × 4 = 168.
Еще пример —11 × 13:
На чем основан этот прием? Обратимся снова к алгебре. Все случаи подобного умножения можно в общем виде изобразить так:
(10 + а) × (10 + Ь),
где а и b – числа, меньшие 5, – означают, сколько загнуто пальцев. Выполнив умножение по общим правилам, получим:
(10 + а) (10 + Ь) = 100 + 10 (а + b) + ab.
Из этой строки ясна правильность способа: сто + + сумма загнутых пальцев с приписанным нулем + произведение загнутых пальцев.
Любопытно, что произведение 10 × 10 можно получить на пальцах по обоим способам. Действительно, по первому имеем:
По второму способу:
Существует также прием умножения на пальцах чисел от 15 × 15 до 20 × 20, – но способ этот слишком уж сложен. Всякая счетная машина хороша, когда обращение с нею просто; наша природная десятипальцевая машина не составляет исключения из этого правила.
Механическое умножение на 9
Опишем еще – как интересный курьез – простой прием умножения однозначных чисел на 9. Пусть нужно умножить 7 × 9. Положите перед собою на стол рядом обе руки и загните 7-й палец, считая слева. Тогда перед вами налево 6 пальцев, направо – 3: искомое произведение 63.
При умножении 5 × 9 загибаем 5-й палец: имеем налево 4, направо – 5 пальцев; произведение 45.
Предоставляем читателю самому сообразить, на чем этот способ основан.
Глава III Потомок древнего абака
Всем, вероятно, памятна в своем роде знаменитая арифметическая задача, которая так смутила семиклассника Зиберова из чеховского рассказа «Репетитор».
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?
С тонким юмором описывает Чехов, как беспомощно трудились над этой задачей и семиклассник-репетитор, и его ученик, двенадцатилетний Петя, пока не выручил их Петин отец, Удодов:
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
– Для чего же вы делите? Постойте! Впрочем, так… продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов [репетитор] делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
– Странно… – думает он, ероша волосы и краснея. – Как же она решается. Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая.
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
– Гм!., странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то!
– Решайте же! – говорит он Пете.
– Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая, – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич [репетитор] берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, – говорит он. – Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил… Понимаете? Или, вот что. Решите мне эту задачу к завтраму… Подумайте…
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
– И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. – Вот, извольте видеть…
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
– Вот-с… по-нашему, по-неученому.
