1/6-1/12=1/12
1/12-1/20=1/30
1/20-1/30=1/60
1/30-1/42=1/105
.....................
Сложим почленно правые и левые части этих равенств. Все равные слагаемые в левых частях, имеющие противоположные знаки (плюс и минус), взаимно уничтожатся, и останется только первое число 1/6. Значит, 1/6 = 1/12 +1/30 + 1/60 + 1/105+ ... Но ведь правая часть этого равенства есть сумма всех чисел следующего за этим наклонного ряда, начиная с 1/12 и до бесконечности. И если в треугольнике мэтра Паскаля каждый член равен конечной сумме чисел, стоящих СЛЕВА и расположенных НАД данным числом, то в моем треугольнике каждое число равно бесконечной сумме чисел, стоящих СПРАВА и ПОД данным.
Вот, собственно, и всё.
Паскаль встает и горячо пожимает руку слегка утомленному оратору.
- Благодарю! Благодарю вас, многоуважаемый мэтр Лейбниц, от имени всех присутствующих, а от себя - особенно. Ваши бесконечные ряды доставили мне бесконечное удовольствие. Потому что бесконечность во всех ее проявлениях предмет моего самого пристального внимания.
- Если так, - говорит Лейбниц, - попросите нашего достопочтенного председателя предоставить слово мэтру Ньютону, и вы получите удовольствие еще большее. Ибо он использовал вашу общую с мэтром Ферма формулу весьма неожиданно. Причем бесконечность в этом случает играет не последнюю роль.
Тут раздаются аплодисменты, и мэтр Исаак Ньютон, раскланиваясь, поднимается со своего места.
- Прежде чем перейти к сути дела, - говорит он, - хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство. Подобно мэтрам Паскалю и Ферма, мы с мэтром Лейбницем также совершили одно и то же открытие. Это дифференциальное и интегральное исчисление. Надо, однако, признать, что открытие это - всего лишь завершение того, что начато нашими предшественниками. В первую очередь мэтрами Паскалем и Ферма, а также отсутствующим здесь мэтром Декартом.
Слова его встречены бурным одобрением. Все встают и долго рукоплещут.
- А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, продолжает Ньютон, дождавшись тишины. - Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде.
Он вытирает доску, и на ней появляется следующее выражение:
- Здесь, - поясняет он, - коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть сочетания из n по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть
Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для n, а распространить на любые значения показателя степени - дробные, отрицательные... При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. - Тут мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. - Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:
Например, для n = получится такой ряд:
Или
Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.
Отвесив учтивый поклон, мэтр Ньютон садится, и Пифагор собирается уже объявить следующего оратора... Но тут в телевизоре что-то щелкает, и место Пифагора занимают Знатоки, сообща арестующие разоблаченного преступника.
Мате с досадой хлопает себя по коленке. Опять на самом интересном месте... Черт знает что!
- Вот именно, мсье, - сейчас же откликается Асмодей. - Я, во всяком случае, всегда знаю, что делаю. Кроме того, привычка - вторая натура, как сказал Цицерон. А он тоже знал, что говорил.
РАЗГОВОР БЕЗ ФОКУСОВ
- Интересно, чем вы удивите нас теперь? - допытывается Фило, когда вздремнувшая после обеда компания снова собирается у Мате. - Еще одной телевизионной передачей?
- За кого вы меня принимаете, мсье! Телевизионная передача уже была, а подлинный художник никогда не повторяется.
- У-У-у! Тогда я вам не завидую, - подтрунивает Мате. - Нагородив такую пропасть фокусов, трудненько придумать что-нибудь новое.
- Вы забываете, мсье, что в запасе у меня всегда остается возможность вообще ничего не придумывать, - парирует бес. - И разве это не самый оригинальный способ не повторяться? Сейчас мы с вами сядем за стол и тихо-мирно, без всяких фокусов подытожим то, что узнали о теории вероятностей.
У Фило это сообщение восторга не вызывает. По правде говоря, его куда больше интересует комбинаторика. Он все еще не раскусил окончательно, с чем ее едят.
- В самом деле? - улыбается Мате. - А между тем с начатками ее вы наверняка знакомились в десятилетке. Вспомните раздел школьной математики "Соединения". Размещения, сочетания, перестановки...
- Так это и есть комбинаторика? - удивляется Фило. - Выходит, я, как мольеровский Журден, всю жизнь говорил прозой, сам того не подозревая!
- Удачнейшее сравнение, мсье. Как и все прочие смертные, вы действительно постоянно решаете комбинаторные задачи, не отдавая себе в том отчета.
- Я?! Это уж вы бросьте! Обещали без фокусов, а...
Но Мате уверяет, что никаких фокусов нет. Просто любая, даже самая несложная задача из тех, что выдвигает перед нами повседневность, заставляет нас учитывать целый ряд обстоятельств, прикидывая, как бы получше их скомбинировать. Не следует, конечно, в данном случае придавать слову "комбинация" дурной смысл. Упаси Боже! Он, Мате, вовсе не хочет сказать, что все поголовно человечество похоже на великого комбинатора Остапа Бендера. Но некий комбинаторный навык бесспорно имеется, да и должен быть у всех. Вот, например, вы позвали гостей, и вам предстоит рассадить за квадратным столом двенадцать человек...
- Велика сложность! Посажу по трое с каждой стороны, - сейчас же решает Фило.
- И, стало быть, произведете определенное СОЕДИНЕНИЕ. Однако сделать это можно многими способами. Можно рассадить гостей так, чтобы соседями оказались люди, друг другу интересные и симпатичные. Тогда вечер наверняка пройдет легко и оживленно. Можно, наоборот, сделать так, что Иван Иванович, сидящий на одном конце стола, будет все время перекрикиваться с Петром Петровичем, сидящим на другом, а Марья Спиридоновна, наоборот, угрюмо промолчит весь вечер, так как ей очень хотелось сидеть с Настасьей Никаноровной, а соседкой ее почему-то оказалась глухая Агриппина Сципионовна, которую она к тому же терпеть не может.
Фило смотрит на друга широко раскрытыми глазами. Кто б мог подумать, что он такой дипломат!
- И это все, что вы вынесли из моего примера? - язвительно скрипит Мате. - Я на вашем месте сделал бы совсем другой вывод.
- Какой же?
- А тот, что от степени ваших комбинаторных способностей зависит в какой-то мере исход дела. Иначе говоря, вероятность удачи. Вы меня понимаете?
Фило растерян. Что ж это такое? Выходит, каждая комбинаторная задача всегда одновременная и вероятностная?
Мате слегка морщится.
- Ммм... Не каждая. И не всегда. Но часто! Отсюда легко понять, какая тесная смычка существует между теорией вероятностей и комбинаторным анализом.
Фило задумчиво теребит бахрому скатерти. Все это очень хорошо, и связь теории вероятностей с комбинаторикой, а стало быть с жизнью в целом, для него теперь совершенно очевидна. Но из этого отнюдь не следует, что теория вероятностей так уж практически необходима. Вычислить вероятность удачи не значит еще удачи добиться. В конце концов, кто раздобыл рецепт королевского паштета? Кто отворил дверь подземелья? Асмодей или теория вероятностей?
- И что же из этого следует? - иронизирует бес. - Только то, что из пушки по воробьям не палят и что удовлетворение частных потребностей мсье Фило в намерения теории вероятностей не входит.
- Уж конечно! - поддерживает Мате. - У нее совсем иные цели. Ведь если комбинаторика - инструмент, которым пользуется теория вероятностей, то сама теория вероятностей - инструмент, с помощью которого познают мир и его законы самые разнообразные науки. Биология - наука о живых организмах, состоящих из громадного количества клеток. Статистическая физика - она исследует неживую природу, но объекты ее изучения опять-таки состоят из мириадов мельчайших частиц. Астрономия, которая имеет дело с бесчисленным множеством небесных тел. Наконец, статистика - одна из тех наук, которые изучают жизнь общества, иначе говоря - огромного множества людей, и потому занимают такое важное место в государственном планировании, экономике, организации производства... Словом, если неэвклидова геометрия приложима лишь к беспредельным пространствам Вселенной, а теория относительности - к фантастическим скоростям, близким к скорости света, то теория вероятностей применяется во всех без исключения областях, где мы сталкиваемся с так называемыми большими, а на самом деле - грандиозными числами. С теми самыми, о которых беседовали на улице Сен-Мишель Ферма и Паскаль и закон которых в конце семнадцатого столетия открыл швейцарский математик Якоб Бернулли.
