ki 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 3 6 10 15 21 28 36 45 4 1 4 10 20 35 56 84 120 165 5 1 5 15 35 70 126 210 330 495 6 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 -/ 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 8 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 9 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 10 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310
значность может быть любая, до бесконечности.
- А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? - сейчас же прилипает Фило.
- Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.
- Стойте, - перебивает Фило. - Ваша таблица - это же числа треугольника Паскаля!
- Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.
- Значит, - размышляет Фило, - по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.
- Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это - 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.
- Каким образом?
-Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности Паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ, сразу определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?
С ответом, однако, никто не торопится, и потому Мате делает это сам. Оказывается, вопрос действительно несложный. Вот, например, мы хотим узнать количество изосуммарных чисел с индексом 5, начиная с единицы по семизначные числа. Для этого, казалось бы, следует сложить все числа пятого столбца, начиная с 1 по число 210, которое стоит в седьмой строке. Но обнаруживается, что узнать это число можно и не прибегая к сложению, ибо сумма этих чисел находится в соседнем, шестом столбце, все в той же седьмой строке. Это 462. Вот сколько изосуммарных чисел с индексом 5 есть среди всех чисел от единицы до десяти миллионов.
- Мсье, это изумительно! - стонет бес.
- То ли будет! Вы ведь знаете, что в прямоугольнике Тартальи, как и в треугольнике Паскаля, строки можно заменять столбцами.
- И что из этого следует? - спрашивает Фило.
- А то, что количество изосуммарных чисел от ОДНОЗНАЧНЫХ по, скажем, ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ, у которых сумма цифр, например, ТРИ, соответствует количеству ТРЕХЗНАЧНЫХ изосуммарных чисел с суммой цифр от ЕДИНИЦЫ по ЧЕТВЕРКУ. Вот они:
k Изосуммарные числа с постоянным индексом 3 Количество их 1 3 1 2 12,21,30 3 3 102, 111, 120, 201, 210, 300 6 4 1002, 1020, 1200, 1011, 1101, 1110, 2001,2010,2100,3000 10
Всего 20
1 Изосуммарные числа с постоянным индексом 3 Количество их 1 100 1 2 101,110,200 3 3 102, 111, 120, 201, 210, 300 6 4 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310,400 10
Всего 20
Фило рассматривает новую таблицу с видом важным и недоверчивым. Це дило треба разжуваты, как говорят на Украине! Но, в общем, идея ясна. А теперь интересно бы узнать, почему все-таки таблица ограничивается индексом девять?
- В том-то вся и загвоздка! - оживляется Мате. - При индексе свыше девяти изосуммарные числа уже не укладываются в прямоугольник Тартальи. Для того чтобы вычислить количество изосуммарных чисел разных значностей с индексом больше девяти, надо к соответствующим числам прямоугольника Тартальи (а значит и треугольника Паскаля) прибавлять дополнительные слагаемые.
- И вы их нашли?!
- Представьте себе, нашел. И тем горжусь. Но поговорим об этом как-нибудь в другой раз...
Явно пародируя Мате, Асмодей хлопает себя по лбу.
- Клянусь решетом Эратосфена, никогда себе не прощу, что не включил вашего сообщения в заседание Клуба знаменитых математиков! То-то был бы эффект! Но ничего, все поправимо. Не включил в это - включу в следующее...
- Дорогой Асмодей, - робко обращается к нему Фило. - Давно хочу у вас спросить... Если, конечно, не секрет. Не скажете ли, кто исполнял в вашей передаче роль Паскаля? Случайно, не Юрский? Мне показалось - он. Но, по правде говоря, я не уверен...
Бес поднимает брови и некоторое время рассматривает его с преувеличенным интересом. Затем, не говоря ни слова, поворачивается на своих костылях и... исчезает. Словно его и не было. Фило растерянно хлопает глазами: до чего странный все-таки черт! И что он хотел этим сказать?
ПОСЛЕДНЯЯ ТОЧКА НАД i
Проходит долгая безасмодейная неделя. Все это время филоматики то и дело с тоской поглядывают на книгу Лесажа. Они даже пробуют трясти ее в надежде выманить беса, - напрасный труд! Кроме старой бумажки с рецептом орехового торта, оттуда так ничего и не вытряслось.
Асмодей возвращается только в следующее воскресенье - так же внезапно, как исчез, - и, не отвечая на расспросы, сразу же приступает к делу.
- Есть такое изречение, мсье: ни одно доброе дело не остается безнаказанным. Мне оно не особенно нравится, и я переиначил его на свой лад: ни одно доброе дело не следует оставлять незаконченным. Ко-ко... Это уже гораздо лучше, не правда ли? А посему давайте завершим наше доброе дело и подведем окончательные итоги недавнему путешествию, обсудив ту его часть, которая связана с Паскалем и Мольером. Главным образом, с их борьбой против снисходительной морали и ее авторов - иезуитов.
- Наконец я слышу речь не мальчика, но мужа! - говорит Фило. - Давно пора нам узнать, чем же эта борьба кончилась.
- Насколько я помню, - вмешивается Мате, - Мольер в своем ночном монологе сказал что-то о примирении янсенистов с католиками в минувшем октябре.
- В октябре 1668 года, после буллы Папы Климента Девятого, - уточняет Асмодей.
- А сцена, свидетелями которой мы были, относится к 7 февраля 1669 года, - добавляет Фило, - потому что разрешение на постановку "Тартюфа" было дано накануне, шестого, почти через пять лет после злополучного вечера в Версале.
- Но почему все-таки примирились католики и янсенисты? - размышляет Мате. - Ума не приложу!
- Уж конечно, не потому, мсье, что нашли общий язык. Да и какое это примирение? Так, одна видимость. Уже через десять лет пор-рояльцев начали преследовать с новой силой, а к началу восемнадцатого века янсенизм был разгромлен окончательно. Так что рассматривайте это как вынужденную временную уступку, на которую церковь пошла единственно под напором растущего недовольства иезуитами и их хваленой моралью. Всеобщее негодование - его, как вы знаете, разделяла немалая часть духовенства заставило папские власти обратить особое внимание на труды отцов-иезуитов. Сочинения их неоднократно обсуждались и осуждались специальными церковными соборами. И все это вместе взятое завершилось тем, что в 1773 году орден Иисуса прикрыли.
- Ай да Паскаль! - тихо, как бы про себя, говорит Фило. - Такой хилый, такой больной... Вот она, сила истины и таланта!
Мате встает и торжественно пожимает сухонькую лапку Асмодея.
- Клянусь решетом Эратосфена, ничего более приятного вы мне сообщить не могли.
- Весьма счастлив, мсье. Но не думайте все же, что на том деятельность иезуитов закончилась. Уже через четыре десятилетия они добились того, что орден восстановили. И хотя прежнего могущества братьям Иисусовым не видать больше как своих ушей, они все еще продолжают обстряпывать свои темные делишки. Между прочим, мсье, читали вы "Памфлеты" Ярослава Галана?
- Как же, как же, - немедленно отзывается Фило. - Западная Украина, если не ошибаюсь. Первые годы после воссоединения с Украинской ССР. Грязные происки украинских националистов и кровавая роль Ватикана - верного пособника фашизма... Удивительная книга! Страстная, смелая, талантливая.
- Еще бы! - саркастически поддакивает Асмодей. - Кое-кто счел ее даже непростительно талантливой. И коммуниста Галана убили. Да, мсье. Кха, кха. Зверски. Предательски. Топором.
-Тэк-с, - изрекает Мате после хмурого молчания. - Иезуиты?
- Они самые, мсье. Хотя и в более широком смысле. Потому что дело здесь не столько в прямой принадлежности к ордену Иисуса, сколько в самом духе иезуитизма. Ватикан, можно сказать, пропитан им насквозь. Собственно говоря, понятие это давно уже стало нарицательным. Иезуит - стало быть, лживый, коварный, хитрый, лицемерный, подлый. Словом, человек без совести и чести.
- Странно, - задумчиво произносит Мате. - Никак не могу себе представить, что это гнусное братство существует поныне!
- К сожалению, мсье. Однако могу вас утешить: дела его в настоящее время далеко не блестящи. - Асмодей шарит по карманам и достает смятую газетную вырезку. - Вот, смотрите. Это напечатано совсем недавно: "Некогда могущественный католический орден иезуитов переживает трудные времена... Сохраняя еще некоторое влияние в отдельных странах, он терпит внушительное сокращение штатов... Только за последние семь лет ряды этого ордена поредели еще на одну шестую... Отмечается также резкое сокращение числа новообращенных... Сейчас в мире осталось 30 860 иезуитов".
Мате сосредоточенно сводит брови к переносице. Тридцать тысяч восемьсот шестьдесят негодяев... Не так уж мало!
