Родители Анри никак не прореагировали на первый отдаленный рокот барабанов судьбы, донесшийся до их слуха. Что ж, их сын и раньше неплохо успевал по математике. Они видели, как легко расправлялся он с труднейшими задачами, помогая Алине и ее подругам. Его письменная работа по геометрии, которая так поразила лицейских профессоров, несомненно, свидетельствует о незаурядности его натуры, которая в меру своих сил ищет проявления в самых разнообразных областях. Таких же блестящих успехов немало у него и по другим предметам. До сих пор ничто еще не свидетельствовало о неодолимой склонности Анри именно к математическим наукам, и рано пока делать окончательные выводы. Истинно талантливый человек талантлив во всем. А в талантливости своего сына Леон и Евгения Пуанкаре не сомневались.
Анри по-прежнему лидирует в лицее сразу по многим дисциплинам: его сочинения, как и раньше, отмечаются тонкостью стилевого узора и эмоциональной свежестью, его переводы из латинских авторов остаются непревзойденными, его ответы по истории просто превосходны и обнаруживают недюжинную эрудицию. Но в кругу этих давних и неизменных его увлечений появляется новое звено, кажущееся необычным по соседству с сугубо гуманитарными и описательными науками. Именно сейчас, на шестом году обучения, у Анри пробуждается повышенный интерес к математике, который теперь уже не оставит его. Но далеко не все еще понимают, насколько это серьезно.
Анри не любит коллективных подготовок к предстоящим опросам и предпочитает заниматься в одиночестве. Только его одноклассник Альбер Жилль, сирота, воспитанный дядей, нередко приходит к нему делать домашние задания. Мальчиков связывают тесные дружеские отношения. Альбер входит в состав постоянной актерской труппы, ставящей спектакли в доме на улице Лафайетт. Очевидцы рассказывали, что Анри не создавал впечатления прилежного, усидчивого ученика, как можно было бы судить на основании его постоянных успехов. Дома никто не видел его часами просиживающим за приготовлением уроков. Чаще всего он расхаживал взад-вперед, заглядывал в комнату матери, обменивался короткими фразами с домашними, а то и попросту вступал в беседу, одним словом, казался занятым чем угодно, только не своими учебными делами. Но вдруг, прервав разговор, Анри скрывался на некоторое время в своей комнате. Здесь он быстро подходил к столу и, даже не присаживаясь, а поставив колено на стул, набрасывал на листке бумаги какие-то заметки. Затем как ни в чем не бывало он возвращался к прерванному разговору. После ряда таких исчезновений задание, как правило, было готово. Основной процесс его выполнения совершался в голове Пуанкаре, а не на страницах тетради. Порой Анри одним духом перелагал на бумагу целиком готовое задание без всяких предварительных набросков и черновых вариантов. Несмотря на то, что учение давалось ему легко, работал он регулярно. Единственные предметы, по которым его успехи оставляли желать лучшего, были устное чтение и рисование. Надо сказать, что в то время во французских лицеях, коллежах и школах рисованию и черчению уделялось весьма большое внимание. Жаловались преподаватели и на плохой почерк Анри. Писал он одинаково свободно как левой, так и правой рукой, но при этом одинаково плохо.
В лицее немало внимания уделяли физическому развитию учащихся. Помимо традиционных туристских вылазок в окрестности Нанси, лицеисты занимались плаванием, фехтованием или спортивными играми. В любых физических упражнениях Анри неизменно уступал своим более развитым и ловким товарищам, не отличаясь ни силой, ни быстротой, ни сноровкой. Но зато он с удовольствием посещал уроки танцев. Раз в неделю лицеисты собирались в доме Ринка, бывшего торговца мануфактурой, сын которого учился в одном классе с Анри. Нажив себе ренту и отойдя от дел, мсье Ринк приобрел в Нанси дом, просторный зал которого служил теперь танцклассом для молодых людей. Анри с Альбером не пропускали ни одного занятия. Алина, тоже приходившая на танцы, ревниво следила за братом, который каждый раз приглашал одну и ту же партнершу.
Леон Пуанкаре решил, что пора ему приобщать детей к своим заграничным путешествиям. Летом 1868 года семья Пуанкаре побывала в Швейцарии. А во время каникул 1869 года они совершили путешествие в Англию. Маршрут поездки пролегал через Руан и Гавр на остров Уайт, затем в Саутгемптон, Портсмут и Лондон. Никто из них не знал английского языка, а представление об Англии у Анри и Алины сложилось лишь на основании романов Чарльза Диккенса и гравюр в иллюстрированных изданиях. В Лондоне Анри безуспешно пытается читать надписи и афиши. Быть может, именно тогда он впервые приходит к решению изучить иностранные языки, которое вскоре начнет претворять в жизнь, овладев сначала немецким, а вскоре и английским языком.
По возвращении в Дьепп семья Леона Пуанкаре встретилась с семьей его брата Антони из Бар-ле-Дюка. Впервые Анри и Алина так близко познакомились со своими кузенами — Раймоном и Люсьеном. Первому едва исполнилось девять лет, а второму было семь. Обоим судьба уготовила блестящее будущее: Раймону — карьеру удачливого политика и государственного деятеля, выросшего до постов председателя Совета министров и президента Французской республики, а Люсьену — славу известного физика и ректора Парижского университета. Тетя Мария откровенно боготворила своего первенца Раймона, пунктуального и аккуратного, но неуравновешенного мальчика. Стараясь на равных держаться с Анри, он разговаривал чрезвычайно серьезно и рассудительно, несколько стесняясь дефекта своего произношения. Обе семьи вместе направились в Арранси, где дети должны были провести оставшуюся часть каникул.
Четвертым классом заканчивался общий курс лицейского образования, и нужно было решить, по какому направлению продолжать обучение: по отделению словесности или по естественнонаучному отделению. Каждое кз них имело свою учебную программу, свои выпускные экзамены. Впервые в жизни Анри предстояло сделать важный выбор. Несмотря на обнадеживающие и недвусмысленные успехи по математике, он переходит на отделение словесности. По-видимому, таково было желание его родителей, считавших, что их сын непременно должен получить полное гуманитарное образование. Снова Анри усиленно штудирует латынь, изучает античных и новых классиков. Хотя его увлечение математикой ни для кого уже не секрет, всех в первую очередь интересует проявление превосходных литературных способностей лицеиста Пуанкаре. Его лицейский друг Поль Ксарделъ вспоминал впоследствии, как однажды, выполняя домашнее задание, он обратился за помощью к Анри. Нужно было написать стихотворение на латинском языке. Но Анри не умел ничего делать вполсилы, и сочиненные им стихи оказались столь великолепными, что Ксардель не решился показать их преподавателю. Пришлось нарочно испортить несколько строк, чтобы латинист не заподозрил неладное.
