Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам — алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему же Нётер уделяла им такое внимание?
Многие объекты, с которыми работают математики, представляют собой кольца: так, кольцами являются множество целых чисел и его последовательные расширения — , и . Кольцами также являются многочлены одной переменной с коэффициентами из вышеуказанных колец [X], [X], [X] и [X]. Аналогично кольцами являются многочлены нескольких переменных [X1, Х2…., Xn], [X1, Х2…., Xn], [X1, Х2…., Xn], и [X1, Х2…., Xn]. А также сходящиеся ряды — короче говоря, много чего еще.
Но что такое идеалы и почему они получили столь романтичное название? Совершим небольшой экскурс в историю математики. Рассмотрим в качестве примера квадратичное целое [√-5] или [i√5], что аналогично. Это множество чисел вида а + Ь√-5, где а и Ь — целые числа. Иными словами,
[√-5] — кольцо (убедитесь в этом), но здесь, говоря математическим языком, мы вступаем в запретную зону. Мы привыкли к стандартным свойствам делимости и к тому, что разложение числа на простые множители всегда является единственным. К примеру, рассмотрим число 21. Имеем 21 = 3·7 и на этом разложение на множители заканчивается: 21 можно разложить на простые множители единственным способом, и этими множителями будут 3 и 7. Это утверждение следует из основной теоремы арифметики: на множестве разложение любого числа на простые множители является единственным. На множестве [√-5] это утверждение уже не будет выполняться: здесь мы можем разложить 21 на простые множители двумя способами:
3·7 = (4 + √-5)(4 — √-5) = 21.
На этом множестве разложение на простые множители уже не будет единственным, что, к своему величайшему неудовольствию, заметил еще Эрнст Куммер (1810–1893). Это утверждение, которое кажется не особенно важным и записывается всего одной строкой, помешало алгебраистам XIX доказать теорему Ферма и доставило им немало хлопот.
Чтобы как-то исправить ситуацию и обойти проблему стороной, сам Куммер ввел идеальные числа. Они оказались не слишком полезны, так как принадлежали уже не к [√-5], а к другому, большему кольцу. Это были даже не числа — сегодня мы бы назвали их множествами чисел, эквивалентных между собой. Тогдашним математикам были неизвестны общепринятые на сегодняшний день понятия фактор множества и гомоморфизма, и какой-то порядок и логику в мир идеалов внес лишь Рихард Дедекинд (1831–1916). За ним последовали другие алгебраисты, которые расчистили территорию и приступили к раскопкам. Важное место среди них занимала Эмми Нётер.
Идеалы обладают еще одной примечательной особенностью — речь идет о цепочке идеалов. Не будем следовать за Нётер и пытаться объяснить абстрактное понятие, а ограничимся тем, что приведем один очень простой пример — идеалы кольца целых чисел .
В этом мире (он представляет собой область целостности, то есть «хорошее» кольцо) правит бал основная теорема арифметики: для всех чисел разложение на простые множители является единственным, и ничто не нарушает гармонию. Идеалами в этом мире будут множества n, состоящие из целых чисел, кратных n. Количество таких идеалов, как и самих чисел, будет бесконечно велико. Сумма и произведение идеалов определяются очень просто:
Идеалы, которые представляют собой множества чисел, и обычные числа ведут себя одинаково, одинаково раскладываются на множители, и с точки зрения арифметики эквивалентны. Они эквивалентны даже в таком непростом аспекте, как делимость. В самом деле, «Ь делится на а» для идеалов можно выразить как ba. Гениальность Нётер заключается в том, что она выстроила цепочку идеалов, объединенных функцией принадлежности , которая отражает их делимость друг на друга.
Так как любое отношение делимости рано или поздно заканчивается некоторым числом, то рано или поздно закончится и любая цепочка идеалов. «Хорошие» цепочки идеалов обязательно заканчиваются, то есть являются конечными. Кольца, на которых не существует бесконечных цепочек идеалов, называются нётеровыми кольцами. Именно этим кольцам Эмми уделяла особое внимание в своих исследованиях.
Позднее алгебраисты доказали эквивалентность следующих утверждений.
1. Кольцо А является нётеровым (иными словами, возрастающие цепочки идеалов на нем конечны).
2. Любой идеал на А является конечнопорожденным.
3. Любое множество идеалов на А содержит наибольший идеал.
В 1999 году Австралийский математический фонд выпустил футболки, на которых были изображены все возрастающие цепи для идеала 18 на множестве . Использовать другой пример помешали ограниченные размеры футболок. На футболках были изображены следующие цепи идеалов:
Как и следовало ожидать, эти цепочки конечны, а кольцо является нётеровым. Между прочим, Гильберт доказал, что если кольцо А является нётеровым, то нётеровым будет и кольцо многочленов А[Х].
* * *
ТЕОРЕМА ЭММИ И ШАХМАТИСТА
Алгебраист Эмануэль Ласкер (1868–1941) был выдающимся математиком и чемпионом мира по шахматам. Он подробно рассмотрел обычные, простые и примарные идеалы. Не будем слишком углубляться в абстрактную алгебру и рассмотрим кольца А, которые также представляют собой области целостности. Примерным идеалом на этих кольцах называется идеал I, отличный от исходного кольца А, на котором при ab I и а I существует n такое, что bn I. (При n = 1 этот идеал называется простым.) Ласкер описал очень широкий класс колец (сегодня они называются кольцами Ласкера) на основе одного интересного свойства их идеалов. Любой идеал можно представить в виде пересечения конечного числа примарных идеалов.
Эмми Нётер доказала теорему, сегодня известную как теорема Нётер — Ласкера, которая звучит следующим образом:
