Почти сразу же выяснилось, что применение их в теории алгебраических форм сулит многообещающие возможности. К этой мысли пришел сам Пуанкаре. Вот как он рассказывает об этом: „Я занимался изучением некоторых вопросов арифметики без особого успеха, не подозревая, что предмет моих исследований может иметь какую-то связь с моими прежними работами (по теории фуксовых функций). Разочарованный своими неудачами, я решил провести несколько дней на побережье и поразмыслить о совсем других вещах. Однажды, когда я прогуливался по обрывистому берегу, мне пришла в голову идея, столь же краткая, сколь неожиданная и вполне определенная, что арифметические преобразования неопределенных тернарных квадратических форм должны быть тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Вернувшись в Кан, я тщательно обдумал эту идею и попытался вывести из нее некоторые следствия“.
Пуанкаре настолько глубоко проникся своими исследованиями, что кажется, будто не он в мучительном напряжении ищет решения стоящих перед ним проблем, а они охотятся за ним и преследуют его, являясь ему в самых неожиданных местах и обстоятельствах. Эту характерную особенность его творчества сумел уловить даже ректор Канского университета, отметивший как-то в одном из конфиденциальных разговоров: „Господин Пуанкаре — это математик великих достоинств, неотступно осаждаемый объектом своих исследований“. Внезапно озарившая Пуанкаре идея позволила ему с помощью аппарата фуксовых групп добиться значительных результатов в изучении тернарных форм. Впоследствии стали даже говорить, что фуксовы функции вручили Пуанкаре „ключи от алгебраического мира“.
Таких отомкнутых „миров“ было немало. Решая проблему униформизации алгебраических зависимостей между двумя переменными (то, что потом получило название 22-й проблемы Гильберта), Пуанкаре использовал открытые им функции. Не раз он возвращался к этой проблеме в своем последующем творчестве и в 1907 году одновременно с П. Кебе дал ее окончательное решение. Связав фуксовы функции с такой далекой от них областью математики, как теория чисел, Пуанкаре сумел представить некоторые проблемы этой теории в совершенно новом, необычном освещении. В его работах берет свое начало также арифметическая теория автоморфных функций, которая затем усиленно разрабатывалась другими учеными. Пуанкаре принадлежит заслуга введения в математику фуксовых групп, а развитый им метод представления этих групп через фундаментальную область стал одним из основных методов общей теории дискретных групп.
Рассказывая о канском периоде жизни Пуанкаре, невозможно обойти молчанием одно весьма важное событие его личной жизни. По своему значению оно, безусловно, заслуживает того, чтобы ему посвятили больше внимания и места, но отсутствие у авторов достаточного количества документальных материалов, к сожалению, ограничивает их возможности. При всей своей занятости и углубленности в сложнейшие проблемы математики Пуанкаре сумел заинтересоваться одной прелестной молодой особой и в то же время привлечь ее внимание к себе. Посвятив свое высокое интеллектуальное горение фуксовым функциям, он отдал мадемуазель Полей д'Андеси благородный пыл своего сердца. 20 апреля 1881 года в Париже торжественно празднуется их свадьба, о чем он сообщает в своем письме Фуксу. Гейдельбергский профессор отвечает ему длинным и любезным письмом, на этот раз на французском языке, в котором выражает свое искреннее поздравление молодой чете. Супруга Анри Пуанкаре приходилась внучкой Изидору Жоффруа Сент-Илеру, знаменитому французскому биологу, члену Академии наук.
Благодаря блестящему открытию фуксовых функций Пуанкаре в свои 27 лет приобрел столь большую известность в ученых кругах, что ему предлагают должность преподавателя на Факультете наук в Парижском университете. Семья Пуанкаре перебирается из нормандской столицы в столицу Франции. Снова Анри обосновывается в Латинском квартале и в октябре 1881 года приступает к исполнению своих новых обязанностей. Как привилегированное учебное заведение, Политехническая школа готовила своих воспитанников к государственной карьере, давая каждому из них шанс достигнуть высокой административной должности. Но Пуанкаре окончательно и бесповоротно порывает со своей прежней профессией и избирает научное поприще. Его шанс так и остался неиспользованным.
Коллеги но академии или по университету нередко видят Шарля Эрмита в обществе трех молодых математиков. Невзирая на свой преклонный возраст, маститый академик с поистине молодым задором предается жаркому спору, предмет которого порой уводит собеседников далеко от сугубо математических вопросов.
— …В математике все мы скорее слуги, чем господа.
Не раз уже слышали молодые математики эту сакраментальную фразу от прославленного метра. Знакомо им и ее толкование, которое он со вкусом развивает перед своей немноголюдной аудиторией.
— Даже когда истина нам еще неясна, она все равно предсуществует нашей мысли и неукоснительно предписывает ей дорогу, по которой мы должны следовать под угрозой заблудиться. Иначе какое еще вы можете дать толкование той необъяснимой интуиции, что руководит нами в математическом творчестве?
В ответ на чье-то возражение Эрмит со всей убежденностью отстаивает воображаемый им мир математических объектов, подобный миру платоновских идей.
— Нет, почему же, и числа и функции так же реальны, как и другие окружающие нас предметы. Разве вы, математики, не чувствуете, что они действительно существуют вне нас и независимо от нас, а мы только находим их в окружающем мире! В этом отношении математик ничем не отличается от физика, химика или зоолога.
Одним из трех заинтересованных слушателей Эрмита был его бывший ученик по Политехнической школе Анри Пуанкаре, ныне молодой преподаватель Сорбонны.
На первых порах обязанности Пуанкаре на Факультете наук сводились лишь к проведению практических занятий. Он должен был помогать студентам в усвоении лекционного материала, разрабатывать для них домашние задания и проверять их готовность, то есть выполнять всю ту работу, которую по обыкновению возлагали на репетиторов. Немного позднее ему поручили читать курс математического анализа.
Почти одновременно с ним в столице обосновывается Альфред Рамбо, занявший должность профессора истории Парижского университета. Но Пуанкаре нечасто видится с бывшим лицейским преподавателем. Свое свободное время он делит между домашним очагом и наиболее близкими друзьями — Аппелем и Пикаром, которые в том же 1881 году вернулись в Париж после нескольких лет, проведенных в провинции. Все трое проделали традиционный путь в науку, который прошли до них многие известные французские математики, начиная с самого Огюстена Коши.
