Почти одновременно с ним в столице обосновывается Альфред Рамбо, занявший должность профессора истории Парижского университета. Но Пуанкаре нечасто видится с бывшим лицейским преподавателем. Свое свободное время он делит между домашним очагом и наиболее близкими друзьями — Аппелем и Пикаром, которые в том же 1881 году вернулись в Париж после нескольких лет, проведенных в провинции. Все трое проделали традиционный путь в науку, который прошли до них многие известные французские математики, начиная с самого Огюстена Коши.
Отправным пунктом для большинства из них служило одно из двух ведущих учебных заведений страны: Политехническая школа или Нормальная школа. Лишь очень немногие из знаменитых французских математиков XIX века, буквально единицы, вышли из стен Сорбонны. Получив специальное образование, будущие знаменитости посвящали некоторый период своей жизни практической инженерной деятельности, как, например, О. Кошп и К. Жордан, или преподаванию в провинциальных университетах, как Ш. Брио и Ж. Буке. Пуанкаре пришлось пройти и через то и через другое. Не избежал этой участи и Поль Аппель. Окончив Нормальную школу и защитив докторскую диссертацию, он некоторое время преподавал механику на Факультете наук в Дижоне. Их новый товарищ Эмиль Пикар, окончивший Нормальную школу двумя годами позже Аппеля, читал математический анализ в университете Тулузы[15] ].
Путь из провинции в столицу лежал через успех и придание в ученых кругах. У всех троих уже были несомненные заслуги перед отечественной наукой. В то время как Пуанкаре в упорном и поистине рыцарском соперничестве с немецкими математиками завоевывал фуксовы функции, Аппель сформулировал и доказал весьма важную теорему из теории дифференциальных уравнений высших порядков. В серии заметок и статей за 1880–1881 годы он применяет ее для решения общей проблемы преобразования линейных дифференциальных уравнений, связав этот вопрос с инвариантами, введенными для этих уравнений Лаггером в 1879 году. Инвариантно-групповой подход становится самым модным в математике, и Аппель не остался в стороне от этих наиболее современных и плодотворных методов. Двадцатидвухлетний Пикар прославился благодаря открытию двух замечательных теорем, заинтересовавших многих математиков не только во Франции, но и за рубежом. Используя введенное Эрмитом понятие модулярной функции, он смог с помощью этих теорем описать поведение функции в окрестности существенно особой точки. Завоеванный Пикаром и Аппелем авторитет позволяет им вести курсы в Нормальной школе среди других именитых преподавателей.
Неразлучную троицу заботливо опекает Шарль Эрмит, профессор Нормальной школы и Парижского университета, член Академии наук, после смерти Коши ставший общепризнанным главою французских математиков. Благодаря своему личному обаянию, благодаря своей оживленной переписке со многими известными математиками Эрмит, по словам Ф. Клейна, "был в течение многих десятилетий одним из важнейших центров всего математического мира". Клейн ставит ему в заслугу стремление "поднять математику выше того одностороннего национализма, который постепенно стал охватывать молодое французское поколение". (К сожалению, не только французское, но и немецкое, следовало бы поправить Клейна.) Сплотив вокруг себя группу наиболее талантливых молодых математиков, Эрмит старается связать их тесными дружескими и творческими узами с зарубежными коллегами. И надо отметить, что немало в этом преуспел.
Мудрый и доброжелательный ученый весьма дорожит сложившимся вокруг него благополучным миром научного и человеческого общения, приятных мысленных контактов. Он очень остро ощущает незащищенность этого мира перед неуправляемыми социальными стихиями. Нередко молодые коллеги слышат в его словах откровенное беспокойство перед возможной войной или революцией. По мере сил они стараются развеять его опасения. Для подобной тревоги нет абсолютно никаких причин! На последних парламентских выборах республиканцы одержали полную победу. Правда, сформированное Гамбеттой правительство, от которого ждали так многого и которое называли "великим министерством", не продержалось и трех месяцев. Но республика сейчас прочнее, чем когда бы то ни было раньше. Вместе с отставкой генерала Мак-Магона с поста президента исчезла последняя угроза реставрации. Расшитый золотом мундир с галунами и позументами сменило нарочито скромное партикулярное платье без единого знака отличия. Новый президент Жюль Греви, немногословный, умеренный и холодный, демонстрирует намеренно безличный метод правления, желая, видимо, как можно резче оттенить контраст с декоративной пышностью и мишурой мак-магоновского двора, кишевшего неисчислимой свитой адъютантов и церемониймейстеров.
Весьма энергичный и уверенный в себе, Эмиль Пикар пришелся по душе Аппелю и Пуанкаре. Их дружба крепнет с каждым днем. Сообща они участвуют в одном начинании Гастона Дарбу, возглавлявшего в это время кафедру высшей геометрии в Сорбонне. Еще в 1870 году Дарбу основал специальный журнал "Бюллетень математических наук и астрономии", призванный в какой-то степени решить весьма остро стоявшую тогда проблему ознакомления французских математиков с исследованиями и достижениями зарубежных коллег. Но для бесперебойного функционирования журнала необходим был контингент сотрудников, знающих языки и хорошо разбирающихся в математике, которые могли бы не просто переводить статьи, а даже рецензировать и комментировать их. Прибывшие в Париж молодые математики сразу же оказались среди самых деятельных участников в подготовке выпусков этого издания.
Общие научные интересы и даже совместное творчество еще теснее сплачивают математическое трио. Подхватив и продолжив исследования Пуанкаре по фуксовым функциям, Пикар вводит в математику аналогичные функции, но уже не одного, а двух переменных, назвав их гиперфуксовыми. В соавторстве с Пуанкаре он доказывает знаменитую теорему Римана об однородных функциях. Пуанкаре же в своих работах по определителям бесконечного порядка словно бы начинает диалог с Аппелем, ведущим изыскания в том же направлении.
— На этот раз мы к вам с добрыми вестями, — прямо с порога заявляет Эрмит, останавливаясь в дверях и пропуская вперед Пикара, Аппеля и Пуанкаре.
Ковалевская встретила их заинтересованным, чуть смущенным взглядом. Сколько раз ей приходилось слышать об этих молодых французских математиках! Совсем недавно познакомившись с ними, она еще не успела утолить острое чувство любопытства, хотя это был уже не первый их визит. Гости, стараясь скрыть свое стеснение, толпились в небольшой комнате, которую явно не мешало бы привести в порядок, до того она была заполнена небрежно разбросанными вещами — книгами, исписанными листами бумаги, принадлежностями для рукоделия, детскими игрушками. Только Эрмит чувствовал себя непринужденно и уверенно, источая на всех свою любезность и покровительство.
