Вклад, внесенный Пуанкаре в небесную механику, был столь значительным, а его исследования, суммированные в трехтомном труде, оказались столь выдающимся событием в этой науке, что, когда внезапно умер Ф. Тиссеран, возглавлявший кафедру небесной механики Парижского университета, ни у кого не возникло сомнений в том, кто должен стать его преемником. Декан факультета наук Г. Дарбу официально предлагает Пуанкаре занять вакантное место. И вот он оставляет кафедру математической физики и теории вероятностей, которой руководил уже десять лет, и утверждается единогласным решением факультетского совета в новой должности. С осени 1896 года профессор А. Пуанкаре ведет уже курсы по некоторым традиционным разделам небесной механики. Три тома этих лекций будут изданы в период с 1905 по 1910 год. Затем будут опубликованы прочитанные им лекционные курсы "О фигурах равновесия жидких масс" и "О космогонических гипотезах". Своей преподавательской и научной деятельностью он охватил все основные направления, в которых развивалась небесная механика и теоретическая астрономия с начала XX века до настоящего времени: аналитические методы небесной механики, качественные методы небесной механики и теория фигур небесных тел.
В 1900 году последовало второе после премии короля Оскара публичное признание за рубежом несомненных заслуг Пуанкаре в этих науках. Джордж Дарвин, второй сын знаменитого естествоиспытателя Чарлза Дарвина, возглавлявший в Кембриджском университете ньютоновскую кафедру, вручает ему золотую медаль Лондонского королевского астрономического общества. Но именно после этого, с начала XX века, его фундаментальный труд по небесной механике начинает играть наиболее активную роль в мировой науке. Причем значение его со временем только возрастало по мере того, как открывались все новые плодотворные возможности созданных Пуанкаре методов. Не покрылись пылью эти методы и сейчас, несмотря на более чем полувековой срок, прошедший с момента их рождения. По-прежнему они все так же новы и необходимы, как и в начале века. Правда, мечта Пуанкаре довести качественную теорию дифференциальных уравнений до того уровня, когда она позволит решать основные космогонические проблемы, так и осталась неосуществленной.
Чтобы охватить качественными методами сложные задачи небесной механики, нужно было научиться прослеживать ход кривых, представляющих решения дифференциальных уравнений, в многомерном пространстве, где отказывает пространственная интуиция и бесполезен привычный геометрический язык. Поэтому, прежде чем браться за такие качественные исследования, необходимо было сначала обзавестись соответствующим математическим аппаратом. "Метод, который дал бы нам возможность понять качественные соотношения в пространстве более чем трех измерений, оказал бы услуги, аналогичные тем, какие оказывают нам чертежи, — пишет по этому поводу Пуанкаре. — Таким методом может быть лишь Analysis situs более чем трех измерений. Однако эта ветвь науки до сих пор мало культивировалась. После Римана пришел Бетти, который ввел некоторые фундаментальные понятия, но за Бетти уже не последовал никто".
И вот внимание Пуанкаре уже приковано к Analysis situs. Это было в самый разгар его работы над третьим томом "Новых методов". Достраивая величественный храм небесной механики, великий зодчий науки одновременно закладывает фундамент новой грандиозной постройки. Никто еще не догадывается о том, какое необычное здание вознесется над этим основанием. Далеко не все математики знакомы с работами Бернгардта Римана, о которых упоминает Пуанкаре. К тому же в своей знаменитой лекции 1854 года и в одном посмертно опубликованном фрагменте выдающийся немецкий математик лишь указывает на основные отличительные черты новой математической дисциплины, которую он именует лейбницевским термином "Analysis situs", что означает дословно "анализ положения". После Бетти, который вслед за Риманом разработал некоторые первоначальные, понятия этой нарождающейся науки, наступило полное затишье, даже не период накопления отдельных результатов, а именно затишье. И лишь в последнем десятилетии XIX века французский математик взял на себя весь труд по возведению и укреплению стен нового строения.
"На вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии, можно ответить одним предложением — он ее создал", — заявляет крупнейший тополог нашего времени, советский математик П. С. Александров. Топология — так называют сейчас науку, которую Пуанкаре, следуя Риману, величал Analysis situs. По его собственному определению, этот раздел математики "описывает взаимные положения точек, линий и поверхностей безотносительно к их величине". Геометрией относительных положений, качественной геометрией видится будущая топология ее создателю. С первого мемуара Пуанкаре по этому вопросу начинается история топологии как самостоятельной математической науки. Во введения автор задается вопросом: нужно ли заменять язык аналитического исследования языком геометрии, если в многомерном пространстве последний утрачивает свои преимущества наглядности? Конечно, "не предпринимают дальнего путешествия, чтобы увидеть то, что можно найти у себя дома". Но в отстроенном и обжитом за долгие века «доме» классической математики, имевшей дело лишь с формулами и вычислениями, он не находит того, что ему нужно. И вот Пуанкаре отваживается на "дальнее путешествие", которое приводит его в удивительный, ни на что не похожий мир неколичественной математики, изучающей неизмеряемые и непросчитываемые сущности.
Не поддается количественному выражению запах, не измеряется числом внешний вид тела. Но топология нашла подходы к количественному изучению некоторых таких качественных понятий, как, например, формы различных тел. Прежде всего нужно классифицировать все тела по их конфигурациям, то есть условиться, какие фигуры считать топологически одинаковыми. Если, деформируя одну фигуру, можно перевести ее в другую без разрывов, разрезов и склеиваний, то обе фигуры считаются топологически неразличимыми. Взяв шарообразный ком сырой глины, можно совершить с ним на гончарном круге целый ряд превращений, которые ни один тополог не признает изменением формы. Приплюснув ком сверху ладонью, получим вместо шара эллипсоид. Затем продавим в середине вмятину и, постепенно углубляя и расширяя ее, сделаем глиняную чашу. Вытянув верхнюю часть чаши, преобразим ее в кувшин, у которого можно даже оттянуть спереди «носик». Для тополога все это будет одна и та же фигура. Вот если теперь оторвать кусочек глины и прилепить к кувшину ручку, мы получим совершенно новую топологическую фигуру. Ведь мы проделаем сразу две запретные операции — разорвем материал, а потом склеим его в другом месте.
