Топология характеризует геометрические тела лишь такими свойствами, которые не меняются при любых преобразованиях, если только не совершаются разрывы и склеивания. Поэтому не относятся к топологическим свойствам ни линейные размеры тела, ни угловые. А вот: свойство фигуры состоять из одного цельного или из определенного числа разрозненных кусков является топологическим. Ведь, для того чтобы преобразовать, скажем, «восьмерку» в "два нуля" или наоборот, придется или разорвать фигуру, или же склеить ее несвязанные части. Число измерений фигуры тоже служит топологическим признаком. Без слипания сразу множества точек трехмерный куб не превратишь в двухмерный квадрат. Сфера и тор представляют собой примеры существенно различных топологических поверхностей. И есть топологическое свойство, их различающее: если на поверхности сферы, например мяча, изобразить произвольную замкнутую линию и сделать по ней разрез, то она обязательно распадется па две части. А на надувном спасательном круге можно произвести такой замкнутый разрез (хотя бы по "экватору"), что его тороидальная поверхность останется единым целым. Топологи тем и занимаются, что отыскивают характеристики геометрических образов, которые не меняются при разрешенных в топологии преобразованиях и называются поэтому топологическими инвариантами.
Успех топологических исследований во многом зависит от того, насколько удачными оказались найденные топологические инварианты. Как правило, стремятся к тому, чтобы такими инвариантами выступали числа иди другие хорошо знакомые математикам объекты, например группы. Тогда можно количественно изучать сугубо качественные свойства, используя уже готовый математический аппарат. Топологические инварианты как бы проецируют мир качественных сущностей на мир количественных величин. И у истоков этого чуда стоят исследования Пуанкаре. Введенные им топологические инварианты, наиболее глубокие и наиболее универсальные, до сих пор играют в топологии ведущую рель. В своем первом мемуаре по "Analysis situs" он дал понятие "фундаментальной группы". С его помощью топологические проблемы удается свести к чисто алгебраическим проблемам, которые решаются методами теории групп. Не менее фундаментальными оказались понятие гомологии и описанные в этом мемуаре числа Бетти.
Первая топологическая работа Пуанкаре была опубликована в "Журнале Политехнической школы", посвященном исполнившейся в 1894 году столетней годовщине этого прославленного учебного заведения. Наступило время юбилейных торжеств, связанных с великими установлениями свершившейся век назад французской революции. Одно из самых грандиозных празднеств состоялось в октябре 1895 года, когда Институт Франции отметил сто лет со дня своего основания.
Минерва и галльский петух
Потрясая листком бумаги, Пикар в весьма нелестных выражениях высказал свое мнение об устроителях этой затеи. Пуанкаре молчал, но в глазах его тоже читалось осуждение, смешанное с иронией. Многие проявляли недовольство официальным приглашением на религиозную церемонию, которой открывалось празднование столетия Института Франции. Приглашения были разосланы на бланках Института. Под традиционным изображением Минервы в шлеме, со змеей и галльским петухом шел текст, в котором извещалось, что 23 октября состоится торжественное утреннее богослужение в церкви Сен-Жермен-де-Пре. Древнейшая в Париже церковь, богато украшенная изнутри позолотой и стенной росписью на библейские мотивы, была в то утро переполнена. Перед заупокойной службой по всем умершим членам Института Франции епископ Перро, член Французской академии, обратился к присутствующим с проповедью, в которой пытался доказать, что ученые изыскания вполне совместимы с религиозной верой. Сам факт службы и содержание проповеди послужили поводом для толков о начале религиозного возрождения Франции и породили множество довольно резких протестов. Правда, некоторые проницательные умы усматривали в этом предприятии лишь горячее стремление епископа к кардинальскому сану, которого он и был вскоре удостоен.
— Ничего, что мы начали за упокой, лишь бы мы кончили во здравие, — с усмешкой произнес Аппель.
Все трое[28] стояли в переполненном зале, явно не рассчитанном на такой наплыв гостей, вдыхая приторный запах духов и с сожалением вспоминая о вечерней уличной прохладе. От дверей доносились громкие выкрики церемониймейстера, объявлявшего фамилии и звания прибывающих гостей, которых встречали у входа Раймон Пуанкаре и его мать. Тетя Мария, на лице и фигуре которой прошедшие годы оставили свои немилосердные следы, явно упивалась блестящей карьерой боготворимого ею первенца. В 1893 году Раймон стал министром просвещения, в 1894 году — министром финансов, а в нынешнем, 1895 году ему снова предложили пост министра просвещения. Образную и яркую характеристику этого буржуазного политического деятеля дал В. И. Ленин: "…Знаменательна карьера Пуанкаре — типичная карьера буржуазного дельца, продающего себя по очереди всем партиям в политике и всем богачам «вне» политики. По профессии Пуанкаре — адвокат с 20 лет. В 26 лет он был начальником кабинета, в 33 года министром. Богачи и финансовые тузы во всех странах высоко ценят политические связи таких ловких карьеристов. «Блестящий» адвокат-депутат — политический пройдоха, это — синонимы в «цивилизованных» странах".
Сейчас тридцатипятилетний министр просвещения Раймон Пуанкаре устраивал прием для съехавшихся на юбилейное празднование иностранных гостей и членов Института, не подозревая о том, что не пройдет и недели, как в результате падения кабинета Рибо он окажется всего лишь экс-министром. Через полтора часа, когда все съехались, начался концерт из музыкальных и драматических произведений авторов, бывших членами Института. Но приглашенных оказалось так много, что все не смогли поместиться в концертном зале. Поэтому выступления сопровождались глухим шумом разговоров, доносившимся из соседних помещений.
В антракте, покинув душный зал, Пуанкаре, Пикар и Аппель прошли к открытому буфету, где предлагалось шампанское со сладостями. Здесь к ним подошел, радушно улыбаясь, Раймон. Анри похвалил концерт, в котором участвовали лучшие силы Большой оперы, Комической оперы и Французского театра.
— Надо думать, это маленький Елисейский дворец, — не без лукавства произнес он полувопросительным тоном, намекая на предстоящий через день прием у президента республики.
— Во всяком случае, здесь мы увидели гораздо больше наших коллег, чем на заседаниях академии, — добавил Аппель, вызвав своим замечанием общий смех.
