Чувствительность к количеству – еще не математика
Современные стандарты предполагают, что 3–4-летние дети должны быть способны считать до 10 и знать названия чисел. Хотя это, безусловно, важные навыки, они представляют собой только вершину математического айсберга и не могут считаться отражением естественно развивающихся вычислительных способностей детей. Действительно ли ребенок, который умеет считать до десяти, знает математику?
Ставшая известной на рубеже столетий история о математическом «гении» Умном Гансе помогает понять эту проблему. Умный Ганс – это конь, тренер которого утверждал, что его подопечный умеет складывать, вычитать, умножать и делить. Когда коню задавали математическую задачку, например спрашивали: «Ганс, сколько будет два плюс два?», конь отстукивал верный ответ передним копытом. Правда открылась только тогда, когда психолог Оскар Пфунгст надел Гансу на глаза повязку. Перестав видеть своего тренера, Ганс не смог получить правильный ответ. Пфунгст определил, что Ганс не производил математические вычисления, а читал невербальные сигналы, подаваемые его владельцем. Владелец подавался вперед, задавая вопрос, и постепенно отклонялся назад, пока конь отстукивал ответ. Когда Ганс добирался до нужного числа, его владелец выпрямлялся, как бы говоря: «Верно». Умный Ганс действительно был умником – только в социальном смысле. Но он совершенно ничего не знал о математике.
Есть мнение, что сама природа запрограммировала детей на изучение математики.
Какие выводы история Умного Ганса позволяет нам сделать в отношении способностей детей? Она говорит о том, что дети могут подходить к задаче не так, как мы, вне зависимости от того, дают ли они правильный ответ. Дети находят еще более остроумные способы для решения задач, которые мы перед ними ставим, чем Умный Ганс. Часто у них блестяще получается запоминать различные смысловые цепочки – названия машин, частей тела, букв алфавита («икалэмэнэ» часто произносятся слитно, как название одной буквы) и – да, даже чисел!
По этой самой причине умение отбарабанить числовой ряд не обязательно означает, что ребенок хоть что-то смыслит в математике. В действительности, даже если ребенок знает, что под коробкой спрятано 3 предмета, это еще не говорит о том, что он представляет себе, что 3 больше 2, но меньше 4. Вполне вероятно, что ребенок запомнил, что «три» – это «название» для трех вещей, точно так же как «синий» – это название определенного цвета. Именно так и работают развивающие карточки. Дети учатся выдавать правильный ответ, видя 2 кружка на карточке, но это совершенно не означает, что они понимают, что такое «два».
Из сказанного вы можете сделать вывод, что математические способности детей поверхностны и неглубоки. Хотя это действительно так, если детей искусственно подталкивают к определенной реакции на определенные команды, дело не только в этом. Ученые очень мало знают о ранних математических навыках детей – вплоть до того момента, пока те не пойдут в школу. Одним из наиболее важных открытий является то, что фундамент для всего математического обучения закладывается в младенчестве и раннем детстве, и развивается одинаково он у всех детей во всем мире, вне зависимости от того, кто их родители. Честно говоря, мы полагаем, что сама природа запрограммировала детей на изучение математики.
В конце концов, трудно даже представить себе, каким образом мы могли бы наткнуться на существование чисел в нашем мире, если бы к этому нас не подготовила матушка-природа. Числа присутствуют повсюду – и одновременно нигде. Они абстрактны и воплощены в физических предметах, но физически нигде не присутствуют. Учитывая, как важно понимать и оценивать количество пищи, количество потенциальных врагов и сторонников, это просто здорово, что эволюция дала нам возможность интуитивно различать количество и число в нашем повседневном мире.
Хотя младенцы (и обезьяны) могут, как минимум, проводить различие между небольшими количествами, их способность действительно понимать числа является предметом бурных споров. Есть исследователи, которые уверяют, что число для младенцев вообще не имеет значения, зато они обращают внимание на количество того, что видят. Следующий эксперимент стал попыткой разобраться в этих противоречащих друг другу историях о математических способностях младенцев.
В опытах, проводившихся профессором Мелиссой Клиэфилд из колледжа Уитмана в Уолла-Уолла, штат Вашингтон, и Келли Микс из Индианского университета в Блумингтоне, 7-месячным младенцам предлагали пройти тест, применяя метод «привыкания». Девочке – будем называть ее малышкой Карлой – снова и снова показывают какой-нибудь предмет, пока ей не становится скучно. Невидимый для Карлы экспериментатор, наблюдающий за ней, нажимает кнопку, подключенную к компьютеру, регистрируя продолжительность ее взгляда. Когда эта продолжительность падает ниже определенного уровня, Карле показывают новый предмет. Если она может отличить новый предмет от старого, она снова начинает смотреть пристальнее. Если не может – то просто продолжает скучать.
Что же показывают исследователи Карле, чтобы понять, реагирует ли она на число – или на количество предметов? Два квадрата среднего размера. Квадраты размещены на доске и через равные промежутки времени меняют свое расположение. Поначалу Карла заинтересована и смотрит на них дольше. Постепенно продолжительность изучения двух одинаковых квадратов падает, как будто Карла говорит: «Ну, все, хватит – я уже все поняла». Вопрос в том, что именно поняла Карла? Один способ выяснить это – показать Карле две разные картины: 2 бóльших по размеру квадрата (то же число, но количественно иная площадь) или 3 маленьких квадрата (другое число, но количественно та же общая площадь). Если Карла считает, что важнее число предметов, она будет дольше смотреть на изображение 3 квадратов. Если думает, что главное – количество, она отреагирует, глядя дольше на изображение 2 квадратов, поскольку общее количество их площади увеличилось.
И что же победило? Победило количество. Карла дольше смотрела на доску, на которой возникли 2 больших квадрата, а вот 3 маленьких ее, похоже, не заинтересовали. Видимо, Карла решала эту задачку, основываясь на количестве, а не на числе.
Какие выводы мы должны сделать из этого открытия? Один вывод состоит в том, что младенцы способны замечать количество, и совершенно не понимают, что такое число. Однако умение различать количество – это важный навык. На самом деле это – критически важная способность, несмотря на тот факт, что она еще не дает основания утверждать, что младенцы умеют складывать и вычитать в более привычном для нас числовом понимании. Возможно, все младенцы обладают базовым восприятием понятий «больше» и «меньше». Некоторые исследователи считают, что этот базовый уровень количественного понимания жестко зафиксирован в мозгу и может быть именно тем навыком, который роднит нас с животными, ищущими себе пропитание. Для окончательных выводов нам придется подождать дальнейших научных данных из этой области. Так или иначе, совершенно ясно, что младенцы не занимаются сложением и вычитанием в том смысле, как это делам мы, взрослые, или даже как это делают дошкольники.
