Ознакомительная версия.
Получается, что номер дома Даши 81, Наташи – 64, а Саши – 55.
Условие
В одном из учебников по математике написано, что наибольшее известное простое число – это разность 23021377 – 1.
Не опечатка ли это?
Подсказка: попробуйте найти последнюю цифру этого числа.
Ответ
Это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося на 1, тоже оканчивается на 1. Поэтому разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.
Условие
Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.
На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?
Подсказка: если придут 10 гостей, каждый должен получить не меньше 2 кусков, иначе торт невозможно было бы разделить поровну на 11 человек.
Ответ
Хозяйке следует разрезать торт на 20 кусков. Докажем сначала, что разрезать торт меньше, чем на 20 кусков, не удастся. Если придут
10 человек, то каждый из них должен получить не меньше 2 кусков. В самом деле, в противном случае один из 10 гостей получил бы 1 кусок и 1/10 часть торта, а если бы пришло
11 гостей, то этот кусок нужно было бы дополнительно разрезать.
Таким образом, количество кусков не меньше, чем 2 ? 10 = 20.
Покажем, что 20 кусков торта хватит всем гостям. Разрежем торт на 10 кусков по 1/11 части и на 10 кусков по 1/110 части. Если придут 10 гостей, то каждый получит один большой кусок и один маленький – всего 1/11 + 1/110 = 1/10. Если же придут 11 человек, то 10 из них получат по 1 большому куску, а 1 человек – 10 маленьких кусков.
Условие
Пьер никогда не проигрывает в рулетку больше 4 раз подряд и никогда не ставит на кон больше 20 долларов.
Каким образом он может выиграть 1000 долларов, если в случае выигрыша в рулетку возвращается удвоенная ставка и в самом начале игры у Пьера есть 100 долларов?
Подсказка: Пьер может делать ставки таким образом, чтобы выигрыш приходился на ставки, размеры которых больше предыдущих проигрышей. Для этого следует увеличить ставку после проигрыша.
Ответ
Пусть Пьер поставит сначала 1 доллар и, если выиграет, скажет «о’кей» и снова поставит 1 доллар. Если проиграет, то в следующей ставке он ставит 2 доллара. Если выиграет, то
его выигрыш покроет предыдущий проигрыш и по сумме 2 ставок он выиграет 1 доллар.
После этого пусть Пьер снова скажет «о’кей» и в новой ставке ставит 1 доллар. Если он проиграет и во второй раз, в третий раз он поставит 4 доллара, чтобы в случае выигрыша покрыть предыдущие проигрыши.
Если проигрывает в третий раз, то в четвертый раз ставит 8 долларов, если проигрывает и в четвертый, то в пятый раз ставит 16 долларов.
По условию он не проигрывает 5 раз подряд, значит, играя таким образом до первого выигрыша, он заработает 1 доллар не более чем за 5 ставок. После этого он скажет «о’кей» и будет делать ставки так же, как и вначале.
Получается, что после 1000 «о’кей» Пьер выиграет 1000 долларов. Для этого ему потребуется сделать не более 5000 ставок.
Условие
Альпинист стоит на горе высотой 100 м. На вершине горы дерево, на высоте 50 м (посередине горы) – еще одно дерево.
У альпиниста есть только 75 м веревки и нож. Может ли он спуститься с горы?
Подсказка: альпинисту следует разрезать веревку на 2 куска по 50 и 25 м.
Ответ
Альпинисту нужно отрезать 25 м веревки, один конец привязать к дереву на вершине горы, а на другом сделать петлю, через которую следует пропустить оставшиеся 50 м веревки, сложенной вдвое: 25 + 50 ? 1/2 = 50, то есть ему как раз хватит веревки, чтобы добраться до дерева, расположенного на высоте 50 м.
Далее альпинисту необходимо вытянуть веревку из петли, привязать к дереву и спуститься вниз.
Можно ли «сотку» разделить на 9?
Условие
В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными). Оказалось, что слово «девяносто» делится на 90, а «девятка» – на 9.
Можно ли «сотку» разделить на 9?
Подсказка: воспользуйтесь признаком делимости на девять.
Ответ
Буква «о» равна нулю. Сумма восьми различных цифр д + е + в + я + н + о + с + т делится на 9. Поскольку сумма всех цифр 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 делится на 9, то сумма 2 оставшихся цифр а + к делится на 9. В этом случае слово «сотка» делится на 9 тогда, когда с + т делится на 9 (так как о = 0, а + к делится на 9).
С другой стороны, д + е + в + я + т + к + а делится на 9 (д + е + в + я + т делится на 9, н + с делится на 9, так как д + е + в + я + н + о + с + т делится на 9 и о = 0).
Из этого можно сделать вывод, что с + т не может делиться на 9, следовательно, слово «сотка» тоже на 9 не делится.
Условие
В шеренгу выстроено n клоунов. На голову каждого надевают колпак одного из цветов: красного, желтого или зеленого. Клоун, стоящий в шеренге n-м, видит всех остальных клоунов, n-1-й клоун видит n-2 клоунов, стоящих впереди, ... 2-й клоун видит только первого, первый клоун не видит никого.
Цвет своего колпака клоун определить не может. Каждого клоуна по порядку, начиная с n-го, просят ответить, какого цвета у него колпак. Клоун обязан назвать один из 3 цветов.
Какое максимальное число клоунов может гарантированно угадать цвет своих колпаков? При этом клоуны перед опоросом могут договориться, но не могут заранее знать, какие колпаки на них наденут.
Подсказка: отвечая на вопрос о цвете своего колпака, клоуны могут подсказывать друг другу.
Ответ
Пронумеруем цвета числами от 0 до 2. Видя всех, кроме себя n-й клоун складывает числа, соответствующие цветам видимых им колпаков, и называет цвет, соответствующий остатку от деления полученной им суммы на 3.
n-1-й клоун слышит ответ n-го и видит всех остальных клоунов, кроме себя и n-го. Он также может сложить числа, соответствующие видимым им колпакам, и взять остаток от деления на 3.
Разность между ответом n-го клоуна и этим числом будет соответствовать цвету колпака на n-1-м клоуне, что даст ему возможность правильно назвать цвет своего колпака.
Таким же образом действует и n-2-й клоун, учитывая 2 предыдущих ответа. Получается, что все клоуны, кроме n-го, гарантированно узнают цвет своего колпака (n-й клоун не может узнать цвет своего колпака, так как его колпак никто не видит).
Бесконечные крестики-нолики
Условие
На бесконечной клетчатой бумаге двое играют в крестики-нолики. Один игрок ставит своим ходом 2 крестика (не обязательно рядом), а другой – 1 нолик.
Сможет ли играющий крестиками поставить 10 крестиков в ряд?
Подсказка: на первых этапах игры нужно стремиться ставить крестики далеко друг от друга.
Ответ
Первые 29 = 512 крестиков (за 256 ходов) следует ставить далеко друг от друга (например, на расстоянии 30 клеток друг от друга по горизонтальной прямой).
Ответными ходами второй игрок может «испортить» только 256 крестиков, поставив рядом нолик, а 28 = 256 останутся «неиспорченными». Поставив 256 крестиков (за 128 ходов) рядом с каждым «неиспорченным», получим не менее 27 = 128 «неиспорченных» пар.
Далее аналогично получаем 26 = 64 «неиспорченные» тройки крестиков, 25 = 32 «неиспорченные» четверки крестиков, ..., 2 «неиспорченные» восьмерки и 1 «неиспорченную» девятку.
За 1 ход второй игрок не сможет закрыть ряд из 9 крестиков с двух сторон.
И следующим ходом первый игрок поставит еще 1 крестик, то есть получит ряд из 10 крестиков.
Условие
В коммунальной квартире 10 комнат. Жильцы этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, они снимают дверь какой-либо другой комнаты и относят ее в подвал.
Если же дверь их комнаты отсутствует, они забирают из подвала любую дверь и ставят ее на место своей (если ни одно из этих действий невозможно, они не делают ничего).
Какое наибольшее количество дверей может оказаться в подвале после того, как все жильцы комнат проснутся?
Подсказка: подумайте, могут ли оказаться в подвале все 10 дверей.
Ответ
Представим, что жильцы коммунальной квартиры просыпаются в порядке нумерации их комнат: сначала – первой, потом – второй и т. д.
Рассмотрим комнату, в которой сняли дверь жители первой комнаты. Когда жильцы комнаты со снятой дверью проснутся, они повесят свою дверь на место. В результате этих операций ни одной двери в подвале не прибавится и, если даже жильцы остальных 8 комнат снимут по двери, в подвале окажется не более 8 дверей.
Например: жильцы первой комнаты снимают дверь в десятой комнате, жильцы второй комнаты снимают дверь в первой, ..., жильцы n-й комнаты снимают дверь в n – 1 (1 < n < 10) комнате.
Проснувшиеся последними жильцы десятой комнаты вешают свою дверь на место, после чего в подвале окажется 8 дверей от первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой и восьмой комнат.
Ознакомительная версия.
