Сборник переводов - Физики продолжают шутить

Но все же главные неприятности начались именно с Эйнштейна. В 1905 году он объявил, что абсолютного покоя нет. И с тех пор его не стало. Но только после первой мировой войны на Эйнштейна набросилась читающая публика, и полки в магазинах стали ломиться от книжек «про относительность».

Эйнштейн нокаутировал пространство и время так же, как Резерфорд нокаутировал вещество. Общий взгляд теории относительности на пространство очень прост. Эйнштейн всем объяснил, что нет такого места, как «здесь». «Но ведь я-то здесь, – скажете вы. – Здесь – как раз то место, где я сейчас сижу». Но ведь вы двигаетесь! Земля вертится, и вы на ней вертитесь. Вместе с Землей вы движетесь вокруг Солнца, а вместе с Солнцем – вслед за «далекой галактикой», которая сама мчится со скоростью 26 000 миль в секунду. Так что же это за место – «здесь»? Как вы его отметите? Все это очень напоминает рассказ о двух идиотах на рыбалке. Один из них говорит другому: «Слушай, надо заметить то место, где мы вытащили эту здоровую рыбину», а тот ему отвечает: «Да я уже сделал отметину на борту лодки». Вот вам и «здесь»!

Открытие Эйнштейном кривизны пространства физики приветствовали взрывом аплодисментов, какие до тех пор можно было слышать только на бейсболе. Блестящий ученый, сэр Артур Эддингтон, который с пространством и временем обращается как поэт (даже его рассуждения о гравитации пронизаны юмором: он говорит, что идеальную возможность изучать тяготение имеет человек, падающий в лифте с двадцатого этажа), так вот, сэр Артур Эддингтон аплодировал громче всех. По его словам, без этой кривизны в пространстве разобраться вообще невозможно. Мы ползаем по своему пространству, как муха ползает по глобусу, думая, что он плоский. Тайны тяготения озадачивают нас (я не имею в виду тех немногих счастливцев, которым представился редкий случай упасть в лифте с двадцатого этажа. Но и на них откровение снизошло слишком поздно, а откровение заключается в следующем: мы и не падаем вовсе, а просто искривляемся). «Признайте кривизну пространства, – писал Эддингтон в 1927 году, – и таинственная сила исчезнет. Эйнштейн изгнал этого демона».

Но сейчас, четырнадцать лет спустя, начинает казаться, что Эйнштейна мало беспокоит, изогнуто пространство или нет. Ему это, по-видимому, все равно. Один известный физик, руководящий факультетом в одном из крупнейших университетов, недавно написал мне по этому поводу: «Эйнштейн надеется, что общая теория, учитывающая некоторые свойства пространства, напоминающие то, что сейчас обычно называют кривизной, может в будущем оказаться более плодотворной, чем это, по-видимому, имеет место в настоящее время». Сказано чисто по-профессорски. Большинство же говорит просто, что Эйнштейн махнул рукой на кривое пространство. Все равно что сэр Исаак Ньютон, зевнув, сказал бы: «Ах, вы об этом яблоке – а может быть, оно вовсе и не падало?»

Из книги «The World of Mathematics», New York, 1966.

С. Ликок – известный канадский писатель-юморист, видный ученый-экономист, сотрудник Мак-Гиллского университета.

Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные ученые в большинстве своем не знают, о чем говорят и истина ли то, что они говорят.

Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.

Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрел силлогизм – приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли все кругом и не пришли туда, откуда вышли.

В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: «Не все посылки верны». Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: «Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой». Таким образом, мы приходим к заключению: «Не всегда верно, что не все посылки верны». Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.

Опираясь на математические доказательства, ученые сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину – теорию информации. «Информация», научным образом определенная, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит «алло», это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо «алло» внезапно ударит током.

Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце прошлого столетия и начале нынешнего. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы ее здесь привести.

Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путем вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.

Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.

Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведем пример развернутой логической системы.

Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).

Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P(k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k + 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмем множество, состоящее из k + 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся kлошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернем удаленную лошадь в множество, а вместо нее удалим Другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберем все k + 1 множеств, в каждом по kлошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т.е. предположение, что P(k) влечет за собой P(k + 1). Но ранее мы уже показали, что предположение Р(1) выполняется всегда, значит, Рсправедливо для любого kи все лошади имеют одинаковую масть.

Все предметы имеют одинаковую окраску.

В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждений «если Х– лошадь, то все Химеют одинаковую окраску» можно заменить «лошадь» на «нечто» и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить «нечто» на «ничто» без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)

Все предметы белого цвета.

Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного Хоно сохраняет свою справедливость. В частности, если Х– слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (см. Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!

Александр Великий не существовал.

Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: «Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал». Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.