При такой разбросанности математических работ задача историка становится до чрезвычайности затруднительной; невозможно учесть точные размеры заслуг каждого лица, невозможно входить в бесчисленное множество деталей. В нижеследующих строках мы попытаемся лишь вкратце отметить некоторые решительные успехи и указать некоторые новые пути, открывшиеся исследователям.
Геометрия. В 1864 году Мишель Шаль приступил к обнародованию ряда бесчисленных применений своего метода характеристик, «могущего выдержать сравнение с любым открытием нашего века»[249], и своего принципа взаимности или двойственности, получившего затем развитие в трудах многих геометров.
В 1854 и 1860 годах Христиан фон Штаудт издал важные дополнения к своей Геометрии положения, которую он хотел сделать независимой от всякой меры величины. Он сводит значение числа в геометрии к чистому определению точки и, исходя из этого строя понятий, дает полное изображение мнимых в проективной геометрии.
В 1864 году Графическая статика Карла Кульмана, профессора цюрихской политехнической школы, кладет начало приложению современной геометрии к изысканиям, некогда составлявшим сферу аналитических вычислений, и по важности задач, ею затрагиваемых, представляет собой такой же шаг вперед, какой сделал Монж, создавший начертательную геометрию[250]. Эта последняя отрасль, развивавшаяся во Франции с момента своего возникновения и преимущественно направившаяся (именно благодаря Ла Гурнери, 1814–1883) на изучение поверхностей и их кривизны, в свою очередь обновилась за пределами Франции с введением методов проективной геометрии.
Итальянец Луиджи Кремона (родился в Павии в 1830 году, профессор в Болонье, затем в Милане, наконец в Риме с 1873 года) создает теорию афинности алгебраических кривых в своем Introduzione ad una teoria geometrica delle curve plane (1863), начала которой он затем распространил на три измерения (Preliminarii di una teoria geometrica delle superficie).
Георг-Фридрих-Бернгард Риман (1826–1866), сменивший в 1869 году Лежёна-Дирикле в Гёттингене, в одном из своих первых мемуаров, составленном в 1854 году по просьбе Гаусса, но оставшемся неизданным до 1867 года {О гипотезах, служащих основанием геометрии), значительно расширил область попыток неэвклидовой геометрии. Его идеи, отчасти популяризовавшиеся Гельмгольцем с 1868 года, нашли себе подтверждение в классическом мемуаре Бельтрами Очерк истолкования неэвклидовой геометрии (Saggio di interpreta-zione della geometria non-euclidea). Понятие положительной, нулевой или отрицательной кривизны пространства в п измерений и вывод о возможности (теоретической) геометрии (сферической или римановской) трех измерений, в которой все прямые плоскости взаимно пересекаются и где расстояние между двумя точками подчинено определенному максимуму, не могло не вызвать живейшего изумления. Но Феликсу Клейну предстояло в скором времени произвести еще более парадоксальные исследования.
В области аналитической геометрии мы на первом плане видим Гессе[251], который, став профессором в Гейдельберге (1865), опубликовал здесь в 1861 году свои Чтения (Vorlesungen), где он трактует о геометрии трех измерений и в частности о поверхностях второго порядка; около того же времени он развил свою систему соответствия между каждой точкой плоскости и парой точек на прямой. Затем Плюкер, вернувшись к чистой математике, построил Новую геометрию пространства, основанную на рассмотрении прямой линии пак элемента пространства (заглавие его посмертного труда, изданного в 1868 году), или, другими словами, на понятиях, введенных им, построил комплексы и конгруенты прямой.
Клебш (1833–1872), уроженец Кенигсберга, профессор политехникума в Цюрихе с 1858, в Гиссене с 1863, в Геттингене с 1868 года и автор Чтений по геометрии (Vorlesungen Geometrie), сделавшихся классическими, особенно прославился употреблением абелевских функций в общей теории кривых и поверхностей, а также исследованиями об изображении одной поверхности на другой. Он же ввел новое фундаментальное начало, именно расследование рода в классификации алгебраических кривых.
Алгебра и анализ. Первым трудом, на котором сказалось влияние идей Грассмана, была книга О комплексных числах Германа Ганкеля (1839–1873), вышедшая в 1867 году, но, несмотря на свои достоинства, встретившая менее радушный прием, чем замечательная посмертная работа (1874) того же автора по истории математики в древности и в средние века.
В 1864 году американский математик Бенджамин Пирс (1809–1880) приступил к изложению своих взглядов на линейную ассоциативную алгебру (обнимающую до 162 различных алгебраических систем). В 1858 году Кэйли обобщил понятие матриц, предложенное Гамильтоном и впоследствии более широко развитое Сильвестером и др.
Артур Кэйли, родившийся в Ричмонде в 1821 году, и Джемс-Джозеф Сильвестер, родившийся в Лондоне в 1814 году (и долгое время бывший профессором в Балтиморе), являются знаменитейшими английскими математиками XIX века, оставившими след во всех разветвлениях этой науки. Достаточно вспомнить их блестящие открытия (1849–1851) относительно прямых линий поверхностей третьего порядка, а равно и сделанное Кэйли приложение плюкеровских уравнений к исследованию в алгебраических кривых сложных сингулярностей (каждая из которых, как он показал, равна известному числу четырех простых сингулярностей). Но Кэйли и Сильвестер — прежде всего алгебраисты, и главная их заслуга заключается в том, что они обосновали новую отрасль науки, теорию инвариантов[252]. Кэйли следует считать настоящим творцом ее; он создал ее своими первыми мемуарами, печатавшимися в Кембриджском, математическом журнале (Cambridge Mathematical Journal) с 1845 года. Однако этот вопрос существовал уже в зародыше в работах Лагранжа и Гаусса, равно как и в новейших исследованиях Джорджа Буля (1815–1864), одного из своеобразнейших авторов, в частности известного своими исследованиями по символике обозначений и именно приложением ее к логике. Сильвестеру зато принадлежит, пожалуй, честь дальнейшей систематизации новой теории, и именно ему математика обязана большинством технических терминов, включая и самое слово инвариант.
В теории уравнений отметим трансцендентное решение уравнения пятой степени с помощью эллиптических функций, предложенное Эрмитом в 1858 году.
Исследования относительно сходимости рядов приобрели особенную важность с того времени, когда Копти и Абель показали недостаточную вообще строгость в вычислениях и доказательствах при употреблении рядов в XVIII веке. Жозеф Бертран открыл логарифмические признаки сходимости, которые долго считались постоянно решающими, но, в некоторых случаях не оправдываясь относительно рядов, в действительности сходящихся, должны бы считаться специальными. Первый общий признак, основанный на отношении двух рядом стоящих членов, был установлен Куммером (1810–1893) в выражении, вторая часть которого была впоследствии признана излишней.
Дирикле наука обязана первым строгим доказательством относительно изображения непрерывной функции тригонометрическим рядом Фурье; он полагал, однако, возможным представить в таком виде любую непрерывную функцию. Невозможность этого показал Риман в капитальном мемуаре, посвященном прямому исследованию функций, изображаемых тригонометрическим рядом. В том же мемуаре Риман указал необходимые и достаточные условия того, чтобы функция допускала интегрирование, и выяснил, что непрерывная функция может не всегда иметь производную.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений вступило на новый путь благодаря трудам, опубликованным в 1865 и 1868 годах Лазарем Фуксом (род. в 1825 г.).
Теория эллиптических функций подверглась важным усовершенствованиям, среди которых надлежит отметить пользование модулярными функциями, введенное Эрмитом в 1858 году. Рассмотрение абелевских функций и в частности их соединения с б-функциями, обобщенными Якоби, были развиты Розенгайном (1816–1887), Борхартом (1817–1880) и Риманом. Этот последний пытался также обосновать на новом принципе (который он окрестил именем Дирикле) общую теорию функций комплексной переменной, а для рассмотрения различных форм прерывности изобрел знаменитые так называемые римановские поверхности, образуемые различными, хотя и совпадающими плоскостями.
По теории чисел отметим лишь труды Стефена Смита[253] (1826–1883), Куммера, который ввел понятие идеальных чисел, и Дедекиида (род. в 1831 г.), которому удалось их устранить.
Механика и астрономия. Так как в механике построение рациональной науки было уже закончено, то деятельность ученых направилась на прикладную часть. Ламе (1795–1870) дал в 1852 году Математическую теорию упругости, в которой проявил столько же аналитического искусства, как и в своих предшествующих работах по теплоте. Барре де Сен-Венан посвятил свою жизнь установлению согласия между теорией, и практикой и открыл истинные законы сгибания и скручивания.
