которые до них никому и в голову не приходило доказывать. Как проницательно отмечал один из современных исследователей, «действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство «очевидных» математических фактов»
{84}. В этом собственно и заключался переход от практической и вычислительной математики к теоретической науке.
Четыре теоремы Фалеса, связанные с углами и треугольниками, никак не могут соотноситься с египетской математикой еще и потому, что египтяне никогда не занимались сравнением углов по величине и подобием треугольников. Ни у египтян, ни у вавилонян вообще не было понятия угла как измеряемой величины. В отличие от греческой геометрии, в которой углы впервые стали объектом измерения, их геометрия была «линейной» {85}. (Известное деление круга на 360° появилось в вавилонской астрономии не ранее III в. до н. э. {86}).
Признавая восточные вычисления первым этапом развития математики, а греческую дедуктивную геометрию — вторым, мы видим в них логическую связь, но следует ли из нее историческая преемственность? Ведь при этом из поля зрения выпадает греческая практическая математика, которая, хотя и не была столь развита, как вавилонская, несомненно включала в себя многие факты, служившие материалом для доказательств первых математиков. Характерно, что вся терминология греческой математики — местного происхождения (за исключением слова «пирамида»), причем многие термины пришли из практической сферы {87}.Это в очередной раз ставит под сомнение реальность заимствований — они, как правило, оставляют свой след и в языке.
Математическая теория отнюдь не обязательно появляется на определенном этапе развития практической математики. Отсутствие теории во всех математиках древности, кроме греческой, показывает, что причины, приведшие к зарождению и последующему развитию с практических вычислений, не могут сами по себе вызвать стремление к дедуктивному доказательству. Если греки начали с доказательства положений, для практики явно бесполезных, значит, импульсы, приведшие к этому, шли из иных сфер общественной жизни.
Дедуктивное доказательство
В поисках истоков строгого логического доказательства, кроме самой математики, обычно называют еще две сферы общественной жизни, в которых оно могло зародиться: 1) философию, 2) политическое и судебное красноречие. Венгерский историк науки А. Сабо полагает, например, что математика VI — начала V в. до н. э. развивалась эмпирическим путем, а дедуктивное доказательство (в частности, доказательство от противного) и основанная на нем математическая теория стали возможны только после изысканий философов элейской школы — Парменида и Зенона (ок. 480–450 гг. до н. э.) {88}.
На первый взгляд философия оказывается в более удачном положении, чем математика. Первыми дошедшими до нас образцами дедуктивного доказательства считаются фрагменты философской поэмы Парменида и сочинений его ученика Зенона. Парменид выдвигает свое основное положение: бытие есть, а небытия нет (28 В 2–4), из которого логическим образом выводит признаки бытия (неизменность, единство, вневременность и т. д.), и опровергает альтернативные варианты (возникновение бытия, его качественное разнообразие и т. д.). Зенон, опровергая возможность движения и множественности, регулярно прибегает к доказательству от противного (29 А 25, В 1–2). Парменид, вероятно, был первым философом, выдвигавшим свои идеи с опорой на логические доказательства, но изобрел ли он сам дедуктивный метод? Ведь этот метод мог быть воспринят им из математики, в которой он применялся еще со времен Фалеса.
А. Сабо утверждает, что Фалес «доказывал» свои ^теоремы эмпирическим путем, аппелируя к наглядности геометрических чертежей. Действительно, Фалес использовал метод наложения (от которого, кстати, не мог полностью избавиться и Евклид) и опирался на факты, истинность которых в ряде случаев наглядна. Но в том-то и дело, что Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводились к ее демонстрации! Одно из них, сохранившееся у Аристотеля (Перв. Анал. 41 b 13–22), показывает нормальную процедуру логических рассуждений.
АВС — равнобедренный треугольник с вершиной в центре круга. Требуется доказать, что углы при его основании равны. *1 = *2, поскольку оба они являются углами полуокружности; АЗ=А4, поскольку два угла любого сегмента круга равны между собой. Отняв от равных углов 1 и 2 равные же углы 3 и 4, мы получим, что углы САВ и СВА равны между собой.
Заметим, что для наглядной демонстрации достаточно было просто перегнуть пополам папирусный чертеж, однако доказательство Фалеса пошло совсем другим путем.
О дедуктивном характере по крайней мере части математических выводов Фалеса свидетельствует и Евдем. В одном случае он говорит о доказательстве теоремы, в другом — что она была «найдена» Фалесом, в третьем, что тот не дал научного доказательства. У него же мы читаем: «Одному Фалес учил более абстрактным образом, а другому — более чувственным, наглядным» (фр. 133).
Взглянем теперь, каков был уровень математических изысканий в начале второй половины V в. до н. э. Известно, что Демокриту (род. ок. 470 г. до н. э.) принадлежала книга «Об иррациональных линиях и телах», следовательно, к этому времени иррациональность *2 была уже доказана. Выдающийся математик Гиппократ Хиосский (ок. 440 г. до н. э.) занимался популярной тогда проблемой удвоения куба. Ей должна была предшествовать соответствующая проблема в планиметрии — удвоение квадрата, тесно связанная с открытием несоизмеримых отрезков. Из фрагмента Гиппократа о квадратуре луночек — первого дошедшего до нас образца греческого математического текста (Евд. фр. 140) — можно заключить, что он знал немалую часть положений I–IV книг Евклида. (Напомним, что «Начала» Евклида — это собрание предшествующих ему достижений в математике, а не самостоятельное произведение). Ясно также, что они были доказаны еще до него, ибо строгость доказательств самого Гиппократа была оправдана только в том случае, если положения, на которые он опирался, имели ту же логическую форму и завершенность, что и его собственные. Гиппократу же Евдем приписывает первые «Начала», в которых известные на то время теоремы и проблемы были сведены воедино и выстроены в логической последовательности. Все это демонстрирует такую зрелость тогдашней математики, которую нельзя объяснить, полагая, что дедуктивный метод проник в нее из философии только в конце первой половины V в. до н. э.
Б. Л. ван дер Варден убедительно показал, что «Началам» Гиппократа предшествовал раннепифагорейский учебник математики, содержавший основу первых четырех книг Евклида {89}. Опираясь на эту реконструкцию, подтверждаемую свидетельствами о близости Гиппократа к пифагорейцам (42 А 5), мы вплотную подходим к пифагорейской математике первой трети V в. до н. э., т. е. к тому источнику, откуда Парменид и Зенон могли почерпнуть идею дедуктивного доказательства. Согласно традиции (28 А 1), Парменид был близок к пифагорейской среде (он фигурирует и в каталоге Аристоксена), и у нас, таким образом, есть все основания присоединиться к словам Т. Гомперца:
