Аполлодора. Автором эпиграммы, по всей вероятности, является философ IV в. до н. э. Аполлодор из Кизика
{98}.
То, что эпиграмма противоречит утвердившемуся впоследствии мнению о вегетарианстве Пифагора, служит свидетельством ее древности, а не наоборот. (Интересно, что Прокл — единственный, кто сомневался в авторстве Пифагора, — исходил скорее всего из того, что Пифагор не мог приносить в жертву животных). Согласно преобладавшему в IV в. до н. э. взгляду, пифагорейцы употребляли в пищу мясо жертвенных животных, воздерживаясь лишь от отдельных его частей.
8. Последнее заслуживающее внимания свидетельство: известный математик Герои Александрийский (I в.), а вслед за ним и Прокл приписывают Пифагору метод определения целочисленных значений длины сторон прямоугольного треугольника (Пифагоровы тройки). Известно, что оба они пользовались сочинением Евдема, к нему, вероятно, и восходит эта информация — иной источник здесь трудно предположить.
Итак, мы можем предварительно очертить круг тех конкретных математических проблем, к решению которых Пифагор, вероятнее всего, был причастен: теория пропорций, учений о четных и нечетных числах, теорема о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике, метод определения Пифагоровых троек и построение; первых двух правильных многогранников. Этим перечнем, разумеется, все открытия Пифагора в математике не исчерпываются, его следует рассматривать лишь как фундамент для дальнейшей реконструкции.
Но прежде чем двигаться дальше, отметим, во-первых, непротиворечивость приведенных свидетельств и тесную взаимосвязь тех проблем, о которых они сообщают, и, во-вторых, соответствие всех этих открытий уровню греческой математики конца VI в. до н. э. Пифагору не приписывают ничего такого, что не могло бы ему принадлежать!
Но, может быть, эта тенденция проявилась в более поздний период, так что с течением времени его делали автором все новых и новых открытий? Однако и это не подтверждается известным нам материалом.
Поэт Каллимах (III в. до н. э.) упоминает об изучении треугольников и открытии. Пифагором какой-то «фигуры», в чем можно видеть намек на знаменитую теорему. Плутарх (I–II в.), приводя эпиграмму Апол-лодора, затрудняется решить, к чему именно она относится: к теореме Пифагора или к задаче на так называемое приложение площадей, которую он считает более важным открытием. Совершенно ясно, что Плутарх не располагал никакими сведениями, прямо называющими Пифагора автором этой задачи.
Неопифагореец Никомах из Герасы пишет о том, что Пифагору были известны арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции (Intr. II, 22) и три средних пропорциональных (Intr. II, 28). Ямвлцх к этому добавляет, что Пифагор знал еще одну пропорцию, «музыкальную». Наконец, он приписывает Пифагору открытие «дружественных» чисел, у которых сумма делителей одного равна другому, например, 220 и 284.
Вот, наверное, и все, что можно найти о математических открытиях Пифагора, остальные свидетельства мы уже приводили выше. Никто из упомянутых авторов не соединяет с его именем никаких грандиозных достижений. Собственно говоря, за пределы области, очерченной авторами IV в. до н. э., выходит лишь информация Ямвлиха о дружественных числах. Такое единодушие, пожалуй, достойно удивления, и его едва ли могут нарушить слова Прокла о пяти космических телах, особенно если учитывать, что он жил через тысячу лет после Пифагора.
Вернемся теперь к тому, о чем, уже говорилось выше: к тесной внутренней связи всех научных открытий Пифагора, которую можно считать дополнительным подтверждением достоверности собранных выше свидетельств.
Одним из важных связующих звеньев между арифметикой, геометрией и гармоникой была теория пропорций. Пифагору, безусловно, были известны три средние пропорциональные: арифметическое c = a+b/2, геометрическое — с = *ab и гармоническое — c = 2ab/a+b, а также «музыкальная» пропорция — a: a+b/2 = 2ab/a+b: b, непосредственно связанная с его акустическим экспериментом.
Интересное подтверждение принадлежности Пифагору теории пропорций нашел немецкий ученый; Г. Френкель {99}. Он показал, что некоторые идеи Гераклита Эфесского выражены в форме геометрической пропорции. Например: бог/человек==человек/ребенок (22 В 79); бог/человек=человек/0безьяна (22 В 82–83); пьяный человек/ребенок = ребенок/трезвый чело-век (22 В 117). Поскольку до Пифагора пропорции были неизвестны, а сам Гераклит математикой не занимался, он, по всей вероятности, воспринял эту идею у пифагорейцев.
Арифметическую теорию пропорций, приложимую к соизмеримым величинам, Пифагор скорее всего использовал и при доказательстве своей знаменитой теоремы. Ход этого доказательства, согласно реконструкции крупнейшего исследователя античной математики Т. Хита {100}, таков. Исходя из того, что в подобных треугольниках ABC, ABD и ACD стороны пропорциональны, получаем следующие равенства:
AB/ВС = BD/AB
следовательно, AВ2 = ВС * BD;
AC/BC = DC/AC
следовательно, AC2 = BC * DC.
Складывая их, мы получаем: АВ2+AC2 = BC(BD+DC), или AB2+AC2 = BC2.
У Евклида (I, 47) приводится другое доказательство этой теоремы, принадлежащее ему самому.
Следующий раздел Пифагоровой математики — учение о четном и нечетном, положившее начало теории чисел. По мнению большинства историков греческой математики, оно сохранилось у Евклида почти в неизменном виде (IX, 21–34). Приведем в качестве примера первые пять положений этого учения (в сокращенных формулировках):
21) сумма четных чисел является четной;
22) сумма четного количества нечетных чисел четна;
23) сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна;
24) четыре минус четное есть четное;
25) четное минус нечетное есть нечетное.
Доказательства этих положений опираются на определения VII книги Евклида и в строго логическом порядке следуют друг за другом. Хотя Евклид иногда представлял числа в виде отрезков (впрочем, это было скорее исключением, чем правилом), а пифагорейцы пользовались счетными камешками (псефами), суть дела от этого совершенно не меняется. Сохраненные Евклидом доказательства легко иллюстрируются при помощи псефов. Абсолютно неправдоподобно, чтобы Пифагор выдвигал предложения без доказательств (которые были добавлены кем-то позднее) — большинство положений этого учения очевидны любому, кто знаком с элементарными вычислениями. Аристотель и Аристоксен не могли ставить в заслугу Пифагору открытие, или «иллюстрацию», того, что сумма четных чисел всегда будет четной, но лишь доказательство этого и сходных с ним положений. Точно так же, как Фалес в геометрии, Пифагор начал в арифметике с простейших фактов, относительно которых ранее не ощущалось потребности в доказательстве.
Насколько быстро он продвинулся в разработке дедуктивного метода, показывает следующий факт: четыре предложения этого учения (IX, 30–31, 33–34) доказываются от противного. При этом они совершенно естественно следуют из доказываемых прямым образом, ничем не отличаясь от них по сложности. Так, например, для доказательства предложений 33 и 34 не требуется ничего, кроме 8 и 9 определений VII книги. Приведем одно из них: «Если число имеет нечетную половину, то
