по-видимому, Т. Гомперц. [894] Аналогичные взгляды высказывали А. Рей, Ф. Корнфорд и Г. Чернис, математик К. Райдермайстер, [895] однако никто из них не попытался обосновать эту мысль подробно. Фр. Сольмсен отвергает ее, [896] а А. Сабо пытается доказать обратное — рождение силлогистики в элейской философии и заимствование ее методов рождающейся греческой математикой. [897]
Идею о возникновении доказательства от противного в сфере судебного красноречия и проникновении ее оттуда в философию элеатов, а затем уже в математику высказывал С. Я. Лурье. [898] Решающую роль в формировании приемов логической аргументации приписывает судебному и политическому красноречию ряд исследователей. [899]
Однако неэффективность любой дискурсивной аргументации во всех тех случаях, когда обсуждаемый вопрос небезразличен для аудитории (а именно так обстоит всегда дело в судебном и политическом красноречии), не составляет секрета для самих ораторов, подтверждается для нашего времени экспериментальными исследованиями, [900] и уже греки отлично понимали, от чего в действительности зависит успех речи.
Греческая риторика со времен Корака и Тисия учила подбирать подходящие исходные положения, чтобы аргументировать, опираясь на них, в зависимости от задачи, стоящей перед выступающим с речью (PI. Phaedr. 273 a-b; Arist. Rhet. 1402 а 16 sqq.). Сам Аристотель, рекомендуя в «Риторике» апелляцию то к одним основополагающим принципам, то к другим, им противоположным, в зависимости от обстоятельств (1375 а 21 sqq.), по сути дела, признает, что логическая аргументация в человеческих делах может служить для подкрепления любой точки зрения. [901]
Постулировать формирование приемов логического доказательства в публичном красноречии — значит допускать, что люди научились манипулировать логикой раньше, чем применять ее там, где она дает нам подлинное обогащение нашего знания.
Склонность к спору, стремление привести как можно больше доводов в пользу своего мнения, стимулировавшееся формирующимся полисом, чаще всего демократическим, очевидно, не только были той основой, из которой возникло ораторское искусство и риторика, [902] но и способствовали возникновению философии, математики и естествознания. Тем не мене специфическая дискурсивная форма аргументации не могла родиться ни в частной беседе, ни на агоре, ни в судилище.
Ссылка Сабо на то, что попытки непрямого доказательства встречаются у Парменида, а затем и у Зенона, значительно раньше, чем доказательства от противного в греческой математике, [903] ничего не доказывает, ибо она представляет собой argumentum ex silentio применительно к такому материалу, где этот аргумент не просто рискован, но явно недопустим. Наш материал не только фрагментарен, но он неравномерно представляет философию и математику. Первое полностью сохранившееся математическое сочинение — трактат Автолика из Питаны — относится к концу IV в. до н. э. Первые дошедшие до нас фрагменты математического содержания принадлежат Гиппократу Хиосскому (середина V в. до н. э.), и объем имеющихся в нашем распоряжении математических фрагментов V в. до н. э. в десятки раз меньше объема философских текстов VI-V вв. до н. э. В этих условиях не имеет никакого значения то, что непрямое математическое доказательство мы находим впервые во фрагменте Филолая (44 В 2 DK) — пифагорейца конца V в. до н. э. [904]
В действительности доказательства от противного использовались греческими математиками, начиная с первых же шагов геометрии, и мы можем в этом убедиться, анализируя наши сравнительно поздние источники, и прежде всего «Начала» Евклида. Как мы говорили выше, Ван дер Варден недавно показал, что особенности в формулировке теорем 1, 1-12, 22-23 указывают на то, что они восходят к «Началам» Гиппократа Хиосского, а ряд теорем из этих разделов, в том числе теоремы конгруэнтности, доказывались уже в анонимном пифагорейском геометрическом компендии (см. гл. V, § I). [905]
Обратим внимание на теорему, входившую, во всяком случае, в «Начала» Гиппократа Хиосского, которая гласит: «Если в треугольнике два угла равны между собой, то будут равны и стороны, стягивающие равные углы» (1, 6). Перед нами теорема, обратная доказанной Фалесом теореме о равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Так как истинность и прямой и обратной теоремы наглядно очевидна, потребность в доказательстве обратной должна была появиться сразу же после доказательства Фалесом прямой теоремы.
Этой ранней потребности отвечает и ранняя возможность такого доказательства. Доказательство, которое приводит Евклид, использует, кроме очевидных аксиом и приемов построения, еще только одну теорему — теорему о равенстве треугольников при условии равенства угла и двух прилежащих к нему сторон. Теоремы такого типа реконструируются Ван дер Варденом уже для раннего пифагорейского компендиума, а относительно другой теоремы о равенстве треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) нам известно, что ее доказал уже Фалес.
Следовательно, теорема I, 6 «Начал» принадлежит к числу тех, для доказательства которых были возможности уже в первом или во втором поколении геометров, и поиски доказательства должны были начаться сразу после доказательства прямой теоремы Фалесом. Между тем эта теорема, принадлежащая к первому этапу формирования геометрии, доказывается у Евклида не прямым способом, а способом от противного. [906]
До нас не дошло других античных доказательств предложения I, 6, да и само требование доказательства этой и других, столь же элементарных теорем прямым путем было бы подлинным ударом по геометрии, потребовав введения в ясном или неявном виде дополнительных аксиом (такая операция была проделана в XVII в. Озанамом). О такого рода кризисе мы бы что-то знали, так что, судя по всему, доказательство, приводимое Евклидом, является достоянием греческой геометрии с момента ее становления [907] и может служить примером доказательств от противного, под влиянием которых Парменид мог решиться на попытку перенести соответствующие приемы на решение философских вопросов. [908]
Сабо не прав, когда пытается доказать, что общие термины, связанные с математическими доказательствами, восходят к философской диалектике. Для терминов αίτημα, αξίωμα, όμολόγημα (постулат, аксиома, соглашение) мы можем с одинаковым успехом предполагать происхождение и из философской беседы, и из преподавания математики, ибо о формировании такого рода терминов в условиях преподавания математики с учетом точки зрения обучающегося прямо свидетельствует Аристотель (An. Post. 76 b 25 sqq.). [909] Что же касается термина θεώρημα (букв. «видимое»), то его значение в математике явно восходит к наглядности геометрического доказательства, пользующегося чертежом, а не к философской диалектике. В результате оказывается более правдоподобным и внутриматематическое развитие в термины слов αίτημα, αξίωμα [910] и όμολόγημα.
Знакомство Парменида с учениями Пифагора и ранних пифагорейцев не может оспариваться, хотя относительно их влияния на основные его идеи существуют разные мнения. [911] Преемственность по отношению к раннему пифагорейству принимается и нашей биографической традицией о Пармениде (D.
