Илюша ответит не сразу. Подумав, он сказал так:
- Мне кажется, что она должна увеличиваться.
- Почему?
- Потому что может быть только один случай, когда все письма попадут по адресу, и, значит, вероятность того, что все получат своп письма, будет падать по мере увеличения количества писем, так как и число комбинаций будет расти.
- Это справедливо. Но я тебя спрашиваю не о вероятности того случая, когда все адресаты получат своп письма, а о совершенно противоположном случае, когда никто не получит своего письма, так как все конверты перепутаны, другими словами, когда в твоей табличке ни разу ни одна большая буква не совпадет с маленькой.
Илюша не знал, что ответить.
- А если попробовать для четырех писем? - сказал он.
- Ну что ж! - отвечал Радикс. - Последуем примеру нашей мартышки.
И Илюша составил табличку:
- Ну, кажется, все! - с облегчением сказал Илюша, составив эту длинную таблицу. - Значит, все получат свои письма тоже только в одном случае. Эта вероятность теперь падает от одной шестой до одной двадцать четвертой.
- 473 -
А никто не получит своего письма теперь в девяти случаях. Значит, вероятность этого равна девяти двадцать четвертым, или трем восьмым. А для трех писем получалась одна треть. Можно так написать:
1/3 и 3/8
или 8/24 и 9/24.
Значит, вероятность того, что никто не получит своего письма, немного увеличилась. На одну двадцать четвертую.
- Это, конечно, очевидно. А как ты думаешь, что будет далее, если мы будем еще увеличивать число писем?
- Боюсь сказать, - отвечал Илюша. - Как будто вероятность должна понемножку расти?.. Нет, не знаю!
- Допустим, что она "понемножку" будет расти. А нельзя ли выяснить, как именно будет она расти?
Илюша не знал, что ответить.
- Я могу тебе чуточку подсказать. Если мы возьмем пять писем, то эта вероятность будет сорок четыре сто двадцатых, а если возьмем шесть писем, то она будет двести шестьдесят пять семьсот двадцатых.
- Длинные дроби какие-то. Ничего не поймешь!
- Не торопись, - отвечал Радикс. - Давай обратим внимание на то, сколько всего может быть комбинаций. Тут дело обстоит примерно так же, как с перестановками в Дразнилке.
Помнишь?
- Помню! - обрадовался Илюша. - Для трех было шесть, для четырех - двадцать четыре, для пяти - сто двадцать...
- Для шести?
- Для шести - семьсот двадцать... Постой-ка! Ведь в тех дробях, которые ты мне только что назвал, знаменатели тоже точь-в-точь такие же?
- Вот то-то и дело! Ну-ка, поворачивай мозгами!
- Назови мне опять эти дроби, я их запишу.
1/3, 3/8, 44/120, 265/720
- Приведу-ка я их к одному знаменателю, - решил Илюша.
240/720, 270/720, 264/720, 265/720
Долго он смотрел на то, что получилось, и наконец Радикс объяснил ему:
- 474 -
- Вероятность того, что никто не получит своего письма, то увеличивается, то уменьшается, а изменяется при этом все медленнее и медленнее. Обрати внимание на то, что первые дроби разнятся друг от друга на одну двадцать четвертую, следующие две - на одну сто двадцатую, следующие две - на одну семьсот двадцатую. А если взять еще одну дробь, то она уже от последней будет отличаться на дробь, равную единице, деленной на 5040. Следующая разность будет равна единице, деленной на 40320... Ты, может быть, помнишь это число?
- Помню, - довольно мрачно ответил Илюша, ибо это воспоминание ему не очень-то нравилось.
- Таким образом, изменение вероятности будет идти все медленнее и медленнее. Скоро это и заметить будет невозможно. Ну, а какой же вывод из этого можно сделать, по-твоему?
Илюша думал, думал, но придумать ничего не мог. Никакого вывода у него не получалось.
- Вот как тут обстоит дело, - отвечал Радикс, - здесь мы имеем дело с процессом, который напоминает процесс нарастания суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Как там, так и тут слагаемые становятся все меньше и меньше. Как там, так и тут, если число случаев растет до бесконечности, сумма этих слагаемых стремится к определенному пределу (из чего, впрочем, отнюдь не следует, что если слагаемые какого-нибудь ряда уменьшаются, то у их суммы обязательно существует предел; но в данном случае это будет так). Однако тут есть одна немаловажная подробность, касающаяся того, как. именно наша переменная вероятность приближается к своему пределу. Она-то тебя и путала, когда ты смотрел на дроби. В геометрической прогрессии мы просто приближаемся к пределу: что ни шаг, то все ближе. Здесь это дело обстоит не так; вероятность все время колеблется то в одну сторону, то в другую: то она чуть побольше предела, то чуть поменьше. Вспомни-ка нашу "змейку" из Схолии Двенадцатой. Размахи этих колебаний все уменьшаются, и абсолютная величина разности между вычисленной вероятностью и ее пределом падает и падает. Если мы число писем будем увеличивать до бесконечности, то предел этот будет равен примерно 0,367879441171442... Это число замечательное, и мы уже встречались с ним (вернее сказать, с его обратной величиной) в Схолии Семнадцатой. Оно имеет отношение и к логарифмам, и к нашим друзьям комплексным человечкам, и к гиперболе, и к цепной линии, и еще к очень многому в математике, оно нее находится в большой дружбе с числом я и даже приходится ему в некотором роде родственником. Если ты разделишь единицу на это число, то получишь не что иное, как знаменитое неперово число, основание натуральных логарифмов.
- 475 -
- Опять эта знаменитость! - воскликнул Илюша. - Но, значит, пределы встречаются не только при вычислении площадей? И как это опять одно за другое цепляется!
- Бывает, бывает! - отвечал Радикс. - По этому же примерно поводу мне рассказывали такой любопытный случай.
Некий путешественник попал в одном восточном городе на большой базар. Потолкавшись и насмотревшись на изобилие всякой всячины, которая там продавалась, обменивалась и воровалась, он остановился в укромном уголке, где столпилась небольшая кучка людей. Когда он протискался поближе, то увидел сухорукого беднягу, державшего у себя на коленях шестиугольную деревянную досточку с нарисованными символами, а в руке рожок для игральных костей. Приглядевшись, он заметил, что поверхность доски была разделена на семь частей: кружок посредине и шесть секторов в разные стороны. Кружок был разрисован, а в шести секторах было изображено: пика, бубна, черва, трефа, якорь и роза. Это была игра. Заключалась она в следующем: шесть человек из присутствующих ставили каждый по одной монете на шесть секторов досточки, кому на что нравилось. Костемет брал три игральные кости (на каждой из них были изображены те самые символы, что и на досточке), подбрасывал их, а затем опрокидывал рожок на средний, разрисованный кружок. Когда же все ставки были сделаны, он поднимал рожок, и все видели, какпе на всех трех костях выпали символы. Как только все это выяснялось, костемет тем игрокам, которые ставили на выпавшие символы, отдавал их ставки вдвое. Так что трое выигрывали и получали ставки шестерых и были, разумеется, тем много довольны. А трое других, оставаясь в проигрыше, лишались своих ставок. Другими словами, костемет брал у шестерых, а отдавал троим все, что он перед этим получил. Наш путешественник, разглядев сие чудо, подивился: какая же корысть костемету сидеть на базаре целый день, брать у шестерых и отдавать троим? Однако некий базарный завсегдатай стал с нашим путешественником спорпть, замечая, что трудно найти такого осла на двух ногах, который стал бы день-деньской сидеть на солнцепеке с единственной целью отдать троим взятое у шестерых, что костемет хоть и безобидный человек, но себе на кусок хлеба тоже как-нибудь заработать должен, однако, не будучи жадным до наживы, удовлетворяется малым, и, хотя он нередко ничего не получает, время от времени ему перепадают две монеты, а иной раз и чеmыре; что не так много...
- 476 -
pi
Так вот, попробуй рассуди, кто был прав: первый или второй из собеседников? А также выясни, стоило ли людям играть в такую игру и во что им обходилось это удовольствие.
- По-моему, - отвечал Илюша, - это не так трудно.
- Конечно, не так уж трудно.
Мы с тобой и потрудней задачи разбирали. Я хочу задать тебе еще один престранный вопрос.
Я возьму колоду карт, тщательно их перетасую и сдам всю колоду четырем игрокам. Возможно ли, чтобы при этой сдаче каждый из игроков получил одну масть всю целиком, начиная с короля и до двойки и туза.
- Вероятно, возможно, - ответил юноша. - Но только мне кажется, что это чрезвычайно редкая вещь.
- Вещь не частая, что и говорить, - усмехнулся Радикс. - Но однажды в одном лондонском клубе это все-таки случилось. Игроки до того были поражены, что позвали администрацию клуба и составили специальный протокол о таком удивительном случае. Как, по-твоему, правы они были или нет?
- Не знаю, - вымолвил Илюша. - Мне кажется, что они, наверно, обрадовались такой небылице, как радуется всякий, кто найдет редкую вещь, вроде белой вороны.
