- Это, - прошептал на ухо Илюше его спутник, - великий русский ученый Пафнутий Львович Чебышев, а с ним его ученик Александр Михайлович Ляпунов, который работал семнадцать лет и решил вопрос о том, какие формы могут принимать небесные тела, то есть какие из этих форм устойчивы, а какие нет. Вот теперь, быть может, тебе станет яснее, что хотел сказать Ломоносов, когда писал о "собственных Платонах и быстрых разумом Невтонах", не правда ли?
Вслед за этим они попали еще в один громадный зал, где грандиозное количество светящихся искр медленно перелетало от одной стены к другой. Они вылетали тончайшей струен из одной ярко светящейся точки, рассыпались в воздухе и, описывая параболы, падали на противоположную стену. Они гасли на той стене, на которую падали, не сразу, благодаря чему на стене из них получался красиво светящийся эллипс.
- 465 -
- Этот светящийся эллипс имеет некоторое отношение к числам в треугольнике Паскаля и к биному Ньютона, с которым ты скоро ознакомишься в школе. Есть такая особая отрасль математики, которая занимается явлениями, носящими название «случайных».
- Случайных? - с удивлением сказал Илюша. - А что может в математике делать случайность?
- С какой-нибудь отдельной случайностью, разумеется, нам в математике делать нечего, но когда мы имеем дело с массовым явлением, целым комплексом случайных явлений, тогда уже совсем другое дело. Самый простой пример такой массы явлений - это ошибки измерения. Измерить какую-нибудь величину для астронома дело не простое, измерения производятся помногу раз и разными лицами. Ученые принимают все доступные меры, чтобы в их измерениях не было постоянно а ошибки, которая вызывается какой-либо определенной причиной, но со случайными ошибками управиться труднее. Однако и рассуждение и опыт говорят нам, что если для ошибок у нас нет никаких постоянно действующих в одном и том же направлении причин, то они будут беспорядочно изменять наши наблюдения то в одну сторону (скажем, в сторону "плюс"), то в другую (пусть это будет "минус"), и нет оснований для того, чтобы отклонения в одну сторону были систематически больше или встречались чаще, чем отклонения в другую. А если все это так, то разумно допустить, что наиболее близкая, по всей вероятности, к истинной искомая величина, которую мы измеряем, будет нами найдена в предположении, что наши случайные погрешности взаимно погашают друг друга. Если перевести все это рассуждение на математический язык, то мы получим в ответ от наших друзей, бесконечно малых, что при таких обстоятельствах и некоторых несложных допущениях искомая истинная величина совпадает со средней арифметической из целой массы наблюдений.
Этот пример, конечно, не более как пример; было бы очень странно, если бы, опираясь на это, мы измерили рост каждого бойца в целом пехотном полку и затем вздумали утверждать, что это неверно, будто в этом полку есть и. высокие и низкие солдаты, нет, дескать, там все одного роста, точь-в-точь такого, как наша вычисленная средняя! Нет, мы говорим в таком случае, что средняя есть просто некоторая сводная характеристика этого коллектива, и не более того. Впрочем, мы нередко можем охарактеризовать наш коллектив и гораздо более подробно, то есть указать (а иной раз даже и предсказать), насколько в общем будут отклоняться наши данные от средней или даже сколько и каких отклонений от средней там будет наблюдаться. Итак, если я имею дело с массовым явлением, я имею возможность вычислить результаты некоторых случайных явлений. Допустим, ты подбрасываешь монету.
- 466 -
У нее две стороны. Та, на которой отчеканен герб, обычно называют "орлом", а другую сторону - "решкой". Какова вероятность того, что монета упадет гербом вверх?
- Может быть и то и другое, - отвечал Илюша. - На ребро монета стать не может.
- Правильно. Вот математик и говорит, что поскольку это так, то вероятность выпадения "орла" или "решки" равносильна полной достоверности, то есть ничего другого выпасть не может. А что именно выпадет в данный момент, сказать трудно. Если бросать много раз, то они, в общем, должны выпасть в одинаковом количестве. Известный французский естествоиспытатель Бюффон в свое время проделал такой опыт: он бросил монету четыре тысячи сорок раз. "Орел" выпал две тысячи сорок восемь раз, а "решка" - тысяча девятьсот девяносто два раза. Полной точности в равенстве этих чисел, конечно, нельзя ожидать, ибо на белом свете не бывает математически точных монет, но в процентном отношении получилось довольно хорошо; пятьдесят и семь десятых процента и сорок девять и три десятых процента. Если принять полную достоверность за единицу, вероятность выпадения "орла" равна половине, "решки" - тоже половине. Понятно?
- Понятно.
- Представь себе теперь, что ты бросаешь две монетки.
Какова вероятность того, что у тебя выпадут два "орла"?
Попробуем усложнить нашу задачу.
- Половина, - отвечал Илюша. - Не все ли равно, сколько монеток?
- Вот то-то, что не все равно! - отвечал, усмехнувшись, Радикс.
- Давай-ка сосчитаем. У тебя две монетки - первая и вторая. Какие могут быть случаи? Во-первых, обе монетки выпадут "орлами", во-вторых - обе "решками", в-третьих - первая "орлом", а вторая "решкой"...
- Ах да! - воскликнул Илюша.
- В-четвертых - первая "решкой", вторая "орлом". Значит, всего может быть четыре комбинации, совершенно равноправные, а отсюда мы заключаем, что вероятность выпадения двух "орлов" при бросании двух монеток равна не половине, а только четверти. А зато вероятность выпадения и "орла" и "решки" сразу равна половине, ибо ты не нумеруешь монетки, а подсчитываешь просто общий результат. Чем больше брать монеток, тем расчеты эти делаются все сложнее и сложнее.
- 467 -
Если возьмем три монетки, то будут такие комбинации (я буду отмечать "орла" буквой "О", а "решку" буквой "Р"):
1)ООО; 5) ОРР;
2)OOP; 6) POP;
3)ОРО; 7) РРО;
4)РОО; 8) РРР.
Всего восемь комбинаций. Теперь вероятность выпадения трех "орлов" равна одной восьмой, двух "орлов" - трем восьмым, одного "орла" - тоже трем восьмым. Вероятность того, что ни одного "орла" не будет, равна снова одной восьмой. Числители этих дробей будут: 1-3-3-1, а знаменатель равен их сумме.
Одна восьмая - это половина в третьей степени, а числители эти равны коэффициентам при разложении куба суммы. Вот почему эти числа имеют отношение к треугольнику Паскаля.
Эти соотношения заметил и указал еще Тарталья, который жил лет за сто до Паскаля.
- Это все ужасно интересно!
- Подобные задачи возникают во многих науках, в частности, и в физике, когда дело касается, например, движения молекул газа. И этим способом разрешают важные и очень сложные проблемы самого разнообразного характера, начиная от контроля при производстве электро лампочек или разведения новых пород злаков и кончая самыми трудными проблемами атомной физики. Понятно?
- Как будто я немного понял. Я слышал, как говорят, что "по теории вероятностей" должно случиться то или иное, но я думал, что это шутка.
- Когда шутка, а когда и нет...
- А что такое рассеяние отдельных случаев вокруг средней? Я слышал, но не понимаю - оно не всегда одинаковое?
- Нет, - отвечал Радикс, - конечно, не всегда. Очень легко найти пример двух совокупностей, или распределений, случайных явлений, у которых средняя будет одна и та же, а колебания случайностей вокруг нее будут разными. Представь себе, что на одной географической широте лежат две области, средняя годовая температура которых совпадает. Однако первая область представляет собой остров на море, а другая - часть пустыни среди громадного материка. Ясно, что климат второй области будет резко континентальным, то есть будет характеризоваться резкими колебаниями от жары к морозу, тогда как температура на острове будет сравнительно ровной.
- 468 -
- Ясно, - сказал Илюша. - Мне только не совсем понятно, почему температура относится к разряду случайных явлений. Разве можно температуру считать случайностью?
- Я не говорил, что температура есть явление случайного характера. Однако теория вероятностей занимается не только явлениями в точности случайного порядка, как, например, движение молекул раскаленного газа, диффузия и тому подобное; в ее ведении находятся и многие другие явления, где существо той или иной закономерности проявляется не с такой точностью, которую мы наблюдаем в соотношениях абсциссы и ординаты параболы, например, а с некоторыми колебаниями, или рассеянием.
- Значит, - сказал Илюша, - рассеяние может наблюдаться не только вокруг средней, но и вокруг некоторой кривой?
- Разумеется. Вот тебе простой пример. Урожай зависит от осадков. Если осадков будет мало, то есть будет засуха, то хлеба засохнут и урожай будет плохой. Но если осадков будет слишком много, то хлеба начнут гнить на корню и урожай тоже будет неважный. Следовательно, урожаи поднимается от нуля вместе с осадками, увеличивается, доходит до максимума, когда осадков выпадает столько, сколько нужно, а затем, если осадков выпадает еще больше, то урожай уже начинает падать.
