Так вот, в том-то и заключается вся сила, что возможно найти еще одну функцию корней, которая уже не будет симметричной и - а это-то и есть основное! - принимает одно и только одно значение. Это и будет функция (x1 - x2), о которой мы уже говорили. А зная сумму и разность наших корней, мы их немедленно находим, и при этом из уравнения первой степени, но не второй! Теперь - готово! Степень уравнения мы понизили, все в порядке. Совершенно так же для кубического уравнения мы ищем несимметрическую (знакопеременную) функцию, принимающую только два значения.
- 456 -
Для уравнения четвертой степени это будет несимметрическая функция с тремя значениями. Но дальше уже стоит незыблемая точка. Дальше этого в уравнениях с радикалами двинуться невозможно. Подробности вы когда-нибудь узнаете из учебника высшей алгебры, а ваш милый друг Дразнилка-Малый будет вам помогать изо всех своих крохотных силенок! Не думайте, что вы случайно, на первых же шагах, с ним встретились здесь у нас - в серьезном волшебном царстве для любознательных ребят!
Вы ведь поняли, наверно, что перестановки корней - когда их всего три или четыре - обладают тем полезнейшим свойством, что с их помощью можно отыскать такую функцию корней, для которой число значений меньше числа корней данного уравнения. У кубического уравнения три корня и можно составить шесть перестановок, но можно . найти такую функцию корней, которая имеет только два значения, как мы уже говорили. Уравнения четвертой степени имеет четыре корня, их можно переставлять двадцатью четырьмя способами. Есть функция, имеющая только шесть значений, но с ними можно справиться, опираясь на помощь кубического уравнения.
- То есть вроде как мы делаем в наших биквадратных уравнениях?..
- Именно в этом роде. Но вот далее нас и подстерегает разочарование. В 1799 году итальянский врач и математик Руффини, занимаясь систематическим изучением перестановок, нашел и доказал теорему, что от пяти элементов (у которых будет сто двадцать перестановок) не существует таких функций, которые имели бы четыре или три значения.
А если так...
- Значит, степень уравнения нельзя понизить? .. - воскликнул Илюша.
- Выходит, - ответил Мнимий, - что дальше уж нельзя.
С уравнением пятой степени было не просто полторы тысячи неудач, а печто более серьезное: оказалось, что в этом роде задача не только не имеет решения, но и иметь не может.
В работе Руффини еще не все было очень гладко, а через сравнительно короткий срок гениальный молодой математик норвежец Абель дал безупречное доказательство положениям Руффини. Затем Абель нашел еще новые подробности насчет алгебраических уравнений. Коротко это можно так изложить: если уравнение таково, что между его корнями существуют некоторые сравнительно несложные отношения, его можно решить в радикалах. Но, к сожалению, для уравнений выше четвертой степени такие свойства имеют многие отдельные виды уравнений, но отнюдь не все. Вскоре этой задачей занялся гениальный юный француз Эварист Галуа, погибший на поединке с наемным убийцей, подосланным подлой полицией тогдашнего реакционного французского правительства.
- 457 -
В ночь перед трагической гибелью юный математик набросал свою работу. А она увидела свет только через четырнадцать лет после того, как ранняя могила поглотила этого замечательного юношу. Ему было всего двадцать лет...
- А его работа была очень сложная?
- Даже весьма сложная! - отозвался Мнимий. - Многие вопросы и решения снова оказались связанными с той же самой симметрией, но в еще более хитроумном виде по сравнению с тем, о чем мы уже говорили. Введены были и некоторые новые крайне важные общие понятия, сыгравшие свою роль не только в алгебре, но обогатившие и другие разделы нашей науки. Самый процесс постепенного упрощения уравнений был изучен во всей сложности. Для целого ряда, казалось бы, неодолимых препятствий были придуманы обходные хитрые пути, а затем и они сами подверглись исследованию, изучению, так что весь этот раздел математики сам превратился в исследование того, как именно строятся методы решения задач и на чем они в сущности своей основаны. Методы Галуа дали результаты удивительные и неожиданные: если мы сейчас не только убедились на опыте, но и знаем, что с помощью линейки и циркуля невозможно решить кубическое уравнение, то доказано это было в точности только после Галуа. Уравнения любой степени, у которых все коэффициенты при неизвестном в любой степени вплоть до нулевой (то есть, значит, до свободного члена) равны единице - а это и есть общее уравнение деления круга (с одним из них мы познакомились в предыдущей схолии), - всегда решаются, потому что они могут быть сведены к целой цепи уравнений низших степеней. Это опять же до конца разъясняется тем же Галуа. Однако я могу привести только отдельные примеры, хотя и они очень убедительны. В этом направлении наука сделада гигантские шаги. И чем дальше ученый забирается в глубь строения своих методов, тем меньше ему служит то, что можно сразу охватить наглядно. Поэтому вопросы рассуждения, то есть логики, получают все большее и большее значение. Ну вот! Это приблизительно все, что мы способны вам рассказать из этой удивительной, но крайне трудной и весьма отвлеченной области науки[40].
- Да, все-таки очень сложные формулы! - вздохнул Илюша.
- 458 -
- Да ими и не пользуются, - отвечал Мнимий, - имеются гораздо более доступные средства в дифференциальном исчислении.
- Ну-с, молодой человек, - выговорил степенно Радикс, - голова на месте?
- Кажется, на месте, - отвечал Илюша. - Трудно ужасно, так длинно!..
- Не так еще ужасно! - отвечал преспокойно Радикс. - А ты, кстати, видел, какую траекторию в пространстве описал тот советский спутник, который умудрился снять фотографию Луны с той ее стороны, которую с Земли не видно? Как ты полагаешь, очень легко было ее вычислить?.. Ну, а громадные турбины на гидростанциях, их рассчитать просто? А скоростные и высотные самолеты? А счетные электронные машины? Ведь это все необходимые и неизбежные устройства в нашем веке! А расчеты, касающиеся атома и всего его строения, так это еще во много-много раз труднее. Но люди, твои современники, одолевают! Да еще каждый день и каждый час идут вперед... Так что хочешь не хочешь, а поспевать всюду надо!
- Конечно, - покорно пробормотал Илья, - я ведь не спорю...
- Тогда чем же ты недоволен?
- Мне ужасно обидно, что я все-таки самого главного не понимаю! Не понимаю, и все!
- Ишь какой сердитый! - заметил Радикс. - Из-за чего ты так раскипятился?
Илюша даже раскраснелся от волнения.
- Не могу поверить, чтобы эти Мнимии были просто открытием. По-моему, они в то же время еще и чье-то изобретение...
- Видишь ли, - отвечал ему Радикс, - всякое открытие если и не изобретение, то путь к нему. Открытие явления электрической индукции кончилось сооружением динамо-машины, то есть изобретением. Оно было основано на использовании открытия об индукции. Здесь, в вопросе насчет Мнимия, дело обстоит несколько сложнее, а в общем довольно похоже. Человек, изучая алгебраические уравнения, натолкнулся на эти "странные" комплексные числа. Оказалось, что анализировать некоторые очень важные вопросы алгебры без них невозможно - это было открытие! Но в дальнейшем, когда ученые постепенно примирились с этими "странностями", оказалось, что эти замечательные орудия научного прогресса крайне важны и для техники (в электротехнике, в самолетостроении, например), и тогда комплексное число стало привычным.
- 459 -
Догадка - великое дело в науке! Но ведь догадку надо обосновать, чтобы знать, где она пригодится, а где нет. И когда начинается обоснование догадки, начинается и самое построение этого образа или понятия, тогда это логическое построение понятия в известном смысле можно назвать изобретением, например, математические обозначен и я. Понятие интеграла, о котором мы уже говорили, было найдено, то есть открыто, примерно в одно и то же время Ньютоном и Лейбницем. Но Лейбниц придумал такие удобные обозначения в этом новом разделе нашей науки, которые сразу всем очень помогли, и вот это было именно изобретением[41].
- Так вот-с... - промолвил Мнимий, - в заключение я должен буду еще сделать три важных замечания к нашей этой последней беседе. Первое заключается в том, что замечательные труды ученых о решениях уравнений высших степеней привели к выводу, что многие трудные вопросы по части уравнений можно уподобить двум очень простым задачам:
1) извлечению квадратного корня и 2) извлечению корня шестой степени. Первая задача не поддается никакому упрощению, тогда как вторая может быть разбита на две ступени - извлечение кубического корня, а затем из результата - извлечение квадратного. Так вот, общее решение уравнения пятой степени относится именно к первому классу задач. Второе - это то, что все подобного рода задачи очень тесно связаны с перестановками. Наконец, третье заключается в том, что вся замечательная теория Галуа в дальнейшем разрослась в целую математическую дисциплину, имеющую ныне крупнейшее значение. Хотя она и далека от непосредственной инженерной практики, но она дает математику в руки мощное орудие для решения вопроса о том, разрешима ли данная задача вообще (определенными средствами) или нет. Объектами математической мысли стали не самые числа, но операции над ними.
