y3 + py + q = 0,
а формулу Кардана напишем в таком сокращенном виде:
то корни нашего уравнения будут таковы:
y1 = A + B;
y2 = аαА + α2В;
y3 = аα2А + α2В;
- Все-таки, - вымолвил опасливо Илюша, - это получается не так-то просто... С квадратным одна минута, а тут...
- Есть и более сложные задачи, а у сложных задач и способы решения довольно хитрые. Да это еще не все! А дальше способен слушать? А то закроем заседание нашей комиссии - и по домам!
- Нет, нет, - взмолился Илюша, - мне хочется все-таки до конца дослушать!
- 448 -
- "До конца"! -повторил ворчливо Радикс. - Ты думаете, у этой штуки есть конец? Что касается меня, то я в этом отнюдь не уверен. Так еще немножко проползти можно...
- Поползем! - ответил Илюша, вздохнув потихонечку.
- Воля твоя, - отвечал Радикс, - только потом чтобы не жаловаться, что, дескать, замучили!
- Не буду жаловаться! - храбро заявил Илья.
- Тогда слушай дальше, - продолжал Радикс.
- Слушаю!..
- В конце восемнадцатого века замечательный французский математик Лагранж пытался разобраться во всех способах решения уравнений третьей и четвертой степеней. После того как Эйлер нашел сочетания значений двух кубических корней в формуле Кардана, чтобы получить значения всех трех искомых корней, изучение алгебры комплексных чисел сильно двинулось вперед. Лагранж обратил внимание на то, что любой из двух кубических радикалов в формуле Кардана можно выразить через три корня уравнения при помощи следующей формулы (в зависимости от того, какой корень считается первым, какой - вторым, какой - третьим):
1/3(x1 + αx2 + α2x3)
- Совсем я запутался! - с огорчением пробормотал Илья. - Чем эта формула поможет? Откуда взять корни, когда я еще не решил уравнения? Значит, надо сперва воспользоваться формулой Кардана. Какой смысл в этой формуле?..
- Видите ли, - вмешался Мнимий, - вы правы в том отношении, что 13 деле разыскания корней эта формула помочь не может. Но чтобы представить себе, как связаны корни кубического уравнения с его коэффициентами, она в высшей степени полезна.
- Опять не понимаю! - снова огорчился мальчик. - Ведь мы же знаем, какие для Кардановой формулы делали два раза подстановки! Разве из этого нельзя вывести, какие получаются соотношения между корнями и коэффициентами?
- Того, что мы знаем о наших подстановках, еще мало.
Потому что те подстановки, которые годятся для кубического уравнения, не подходят для уравнения четвертой степени, а следовательно, это способ не общий. Кроме того, пока самый способ решения нельзя проверить - или, как говорится, проанализировать, - невозможно подойти и к рассмотрению всего вопроса в целом об алгебраических уравнениях. Ведь мало еще догадаться, каково решение, надо дознаться, почему оно такое, а не иное.
- 449 -
- Возьмем квадратное уравнение, - предложил Радикс, - хорошо тебе известное. Что ты скажешь, если я предложу тебе для него такую формулу? Ты с ней согласишься?
x = 1/2[(x1 + x2) ± (x1 - x2)]
- Д-да... - сказал Илюша неуверенно. - То есть если припомнить общую формулу квадратного уравнения
(x1 + x2)(x1 - x2) = 0,
потом открыть в ней скобки
x2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0,
а затем применить к такому выражению всем известную формулу, для решения квадратного уравнения, то как раз и придешь к твоей формуле. И действительно, она показывает, как формула решения связана с корнями. Но ведь в квадратном уравнении все так просто!
- Боюсь, - вымолвил Мнимий, - что вас пугают эти самые альфы в формуле Лагранжа. Не так ли? А ведь мы о них недавно говорили... Вспомните-ка!
- Говорили...
- А что именно?
- Что с их помощью получаются все значения корней из комплексного числа...
- Разве? - сказал удивленный Радикс. - Как же это возможно? Мыслимое ли это дело?
Илюша посмотрел на своего друга укоризненно.
Что-то очень маленькое и беленькое вдруг упало у ног Илюши, а потом пошел целый снег из этих маленьких беленьких... Одна штучка упала Илюше прямо на руку, и он увидал, что на ладошке у него лежит крохотная беленькая альфа. А кругом так и сыплются все новые и новые маленькие беленькие альфы...
А Мнимий посмотрел на эту альфообразную метель и признался:
- А ведь в самой своей сущности я тоже альфа!
Илюша взглянул на него и сказал:
- Когда мы разбирали пример Бомбелли, я, кажется, понял, что под корнями в формуле Кардана стоят сопряженные комплексные числа... Ну вот, отсюда и альфы, чтобы получать один за другим все значения корня из комплексного числа! Теперь я как будто разобрался. Значит, Лагранж дал формулу Кардана но просто в виде результата двух подстановок, а так, как она складывается из самых корней.
- 450 -
И тут альфовый снежок стал стихать.
- Так-с... - произнес наставительно Мнимий. - Это похоже на дело. Но теперь на минутку давайте снова вернемся к квадратному уравнению. Вы этого не бойтесь! Поверьте, что все те крупные ученые, которые это разбирали, тоже не раз вспоминали о квадратном уравнении. Так вот вам еще один вывод для формулы решения квадратного уравнения, причем чрезвычайно полезный. Нам ведь хорошо известно, что по формулам Виеты сумма корней квадратного уравнения (х2 + рх + q = 0) равняется коэффициенту при неизвестном в первой степени с обратным знаком, то есть:
х1 + х2 = -р.
Возьмем еще одно выражение, составленное из тех же корней, только не сумму, а разность, и возведем ее в квадрат:
(x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q
Отсюда сразу можно написать, что
x1 + x2 = - p
x1 - x2 = ± √( p2 - 4q)
Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?
- Так, конечно, - отвечал Илюша. - Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности - другой.
Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени... То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается...
- Допустим... - отвечал Мнимий. - Но лучше сказать, пусть так будет вплоть до первого противоречия с этим предположением либо допущением.
- А если встретится противоречие?
- 451 -
- Тогда посмотрим. Попробуем его обойти, а если не удастся, придется видоизменять наше допущение. Когда Лагранж, пытаясь обнаружить общее правило из разных решений алгебраических уравнений, нашел наконец свою замечательную формулу, он заметил, что три корпя в ней надо брать в некотором вполне определенном порядке, а это натолкнуло его на новые плодотворные опыты. Если взять все три корпя кубического уравнения, то есть х1, х2 и х3, то, если их брать не только в той последовательности, которая оказалась необходимой - вместе с нашими помощницами, альфами, - но и во всех остальных...
- Интересно, - заметил Радикс, - а сколько будет этих всех остальных?
И оба, Радикс и Мнимий, внимательно посмотрели на нашего героя, Илью Алексеевича.
- Остальных последовательностей корней? - неуверенно повторил мальчик. - Не понимаю вопроса... Или, может быть, о порядке вы говорите? Тогда вы меня о перестановках спрашиваете?..
Не отвечая ни слова, Радикс и Мнимий все так же пристально смотрели на Илюшу, который чувствовал себя под их взглядами не в своей тарелке.
- ... и уж если это так, - в полной неуверенности продолжал он, - то раз всего три корня, то, как их ни переставляй, выйдет только шесть различных последовательностей. И все.
Опять полная тишина. Вдруг Илюша почувствовал, что в его левой руке оказалась маленькая коробочка, и действительно, это был просто самый маленький Дразнилка с тремя шашками. Только на шашках были изображены символы корней:
Илюша начал машинально двигать шашечки, но ничего нового или интересного не обнаружил. Да, действительно, всего получалось шесть перестановок! Но он это давно знал:
(x1 x2 x3); (x2 x3 x1); (x3 x1 x2);
затем опять получается то же самое. А если переставить две шашки, ну, скажем, x2 и x2, то получатся еще три случая:
(x2 x1 x3); (x1 x3 x2); (x3 x2 x1);
а потом снова то же.
- Шесть, - согласился Мнимий, - спору нет. Но вам пришлось однажды что-то менять в первом расположении. Это как надо понимать?
- 452 -
- Это как бы два круга Дразнилки; первый можно назвать четным кругом, а второй - нечетным, потому что в первом случае одна шашка постоянно обходит две шашки, как и полагается в Дразнилке, а во втором сначала обходят одну шашку, и порядок меняется. Перейти от одного круга к другому, не вынимая одной шашки из коробочки, нельзя.
При перестановках каждый раз первая шашка попадает в конец направо.
