Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

5

1 АЛ-II, XVI, XVII и XVIII, a в этой книжке - Схолия Девятнадцатая.

1 Загляни-ка в книжку А. А. Савелова "Плоские кривые" (М., 1966), там есть кое-что полезное о трисекции.

1 Лабиринты были широко известны в древности. На одной из стен засыпанного вулканическим пеплом Везувия города Помпеи нашли выцарапанный план лабиринта с надписью: "Здесь живет Минотавр".

1 Кто хочет узнать про Розамундину мышку подробнее, тот пусть возьмет книгу Н. Корбинского и В. Пекелиса "Быстрее мысли". М., "Молодая гвардия", 1959. А по части лабиринтов см. АЛ-1; III, IV, V, VI.

1 Есть очень хорошая книга известного польского математика Вацлава Серпинского "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах".М., Физматгиз, 1963.

Тот, кто заинтересуется распределением простых чисел среди натурального ряда чисел, может узнать довольно интересные вещи по этому поводу в журнале "Знание - сила" (№ 3 за 1965 год, стр. 38-39, а также последняя страница обложки), где рассказывается о странной спирали из простых чисел, обнаруженной математиком С. Уламом. Эта углообразная спираль (чертится на клетчатой бумаге) обнаруживает ряд совершенно неожиданных правильностей по части разложения простых чисел в натуральном ряду. На этой необычной диаграмме не только самые простые числа, но и промежутки между ними располагаются в виде довольно длинных отрезков, образующих самые замысловатые узоры.

1 Есть книга по этим вопросам: М. М. Постников. Магические квадраты. М., "Наука", 1964.

1 АЛ-1, XI.

1 Если ты, читатель, захочешь познакомиться поближе с Бушмейстером, то вырезай и склеивай его из довольно плотной бумаги, потому что из тонкой бумаги он будет очень эффектно выкидывать свои петли, а разобраться в них будет труднее. Если хочешь, чтобы все тебе было ясно, то не поленись поступить так: при делении Бушмейстера на два раздели сперва (перед тем как склеивать) бумажку пополам вдоль прямой линии на две полоски при помощи карандаша с обеих сторон, затем выкрась левую полоску и красный цвет с одной стороны, а потом ту же полоску и с другой; когда ты теперь повернешь конец бумажки на 180°, чтобы склеить Бушмейстера, у тебя совпадут красная полоска с красной, а белая - с белой. Если ты вздумаешь делить Бушмейстера на три, то крась, начиная слева, первую полоску в красный цвет, среднюю - в синий, а последняя справа останется белой. Так же точно надо сделать с другой стороны, то есть красить в том же порядке, начиная опять слева. Какие ты выберешь краски и как их расположишь - это, конечно, дело твое; важно только, чтобы краски шли на обеих сторонах бумажной полоски в одном и том же порядке, начиная с какого-нибудь определенного края.

1 Если ты, любезнейший читатель, будешь делить Бушмейстера на пять частей, то раздели бумажку на пять полосок и, начиная слева, выкрась так: красная, белая, синяя, серая, зеленая. В этом случае бумажку лучше взять длиной 40 см, а шириной 5 см.

1 В это время кто-то сказал Илюше на ухо: "Достань себе книжку Г. Радемахера и О. Теплица "Числа и фигуры" и почитай там рассказ двадцать третий о периодических десятичных дробях. Он занимает всего восемнадцать страниц. Если тебе покажется мало, бери "Теорию чисел" И. В. Арнольда. Только там побольше восемнадцати страниц!"

Тут Илюша заметил, что кто-то с ним раскланялся и сел на какую-то длинную палку верхом (а на палке написано: "Ось большая эллиптическая") и со свистом улетел в неизвестность...

Между прочим, в "Архимедовом лете" имеется рассказ о сравнениях (AJI-I, XI) и указания на систему вычетов, то есть остатков при делении на некоторое число. В данном случае возникает вопрос о степенных вычетах, или остатках при делении последовательных степеней числа 10 на знаменатель данной дроби.

1 По этому вопросу есть сравнительно доступные книги, например:

Л. А. Калужниц. "Что такое математическая логика". М., "Наука", 1964. В конце этой книжки есть список литературы. Тот, кто заинтересуется этим предметом, в книге Л. А. Калужнина может найти немало интересного.

1 Наш дорогой читатель хорошо сделает, если постарается раздобыть книжку Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах", М.,"Наука", 1965

Книжечка небольшая (128 стр.), не очень легкая, но одолеть ее вполне возможно. Там рассмотрены те же примеры, что и здесь приводятся, но есть и еще более интересные и сложные.

1 Об этом мы еще потолкуем в Схолии Семнадцатой.

Кривая квадратов натурального ряда.

1 В К. Арссньев. Встреча в тайге. Сборник рассказов. М., Детгиз, 1963. Рассказ "13 тундре".

1 АЛ-I; XI, 5, 6.

1 О том, как Пушкин в юности

ты можешь узнать из "Евгения Онегина". А поэма Богдановича так и называется "Душенька".

1 У нас есть много хороших книг о Лобачевском. Вот некоторые из них: А. П. Норден. "Элементарное введение в геометрию Лобачевского". М., Гостехиздат, 1953; Б. Н. Делоне. "Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского". М., Гостехиздат, 1956; П. А. Широков и В. Ф. Кагап. "Строение не-евклидовой геометрии". М., Гостехиздат, 1950; А. 11. Котельников и В. А. Фок. "Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике".

1 Снимок этой таблетки есть в книге Ван дер Вардена "Пробуждающаяся наука", которую мы уже вспоминали. А таблетке этой примерно три или четыре тысячи лет.

1 Это построение называется диагональными числами. Об этом можно прочесть в АЛ-II, XV, 1, 2, 3; XXII, 5. Ныне все это связано с цепными дробями, о которых говорится в АЛ-Н, XXII, ХХШ. Этими дробями занимался в XVI веке Рафаэль Бомбелли. Мы с ним еще встретимся.

1 См. Схолию Девятнадцатую.

1 О спиралях Архимеда можно прочесть в книге "Историко-математические исследования", выпуск VI. М., Гостехиздат, 1953, стр. 623-648; статья И. Г. Башмаковой (*) "Дифференциальные методы в работах Архимеда", § 3-6. См. Схолию Девятнадцатую.

1 Все работы Архимеда переведены на русский язык. Если ты достанешь книгу "Сочинения Архимеда", М., Фпзматгиз, 1962, то там на стр. 227 ты найдешь сочинение "О спиралях". В книге имеются подробные комментарии и объяснения. Об Евтокий можно прочесть на стр. 528.

1 Наш симпатичный читатель поступит дельно, если раздобудет себе небольшую книжечку "Задачи по элементарной математике", составленную группой преподавателей под руководством чл.-корр. АН СССР И. М. Гельфанда (М., "Наука", 1965). Вся эта серия брошюр ("Библиотечка физико-математической школы") очень полезна для юного математика.

1 Об этом подробнее смотри в Схолии Девятнадцатой.

2 В книге Ван-дер-Вардена "Пробуждающаяся наука" в главе VI "Век Платона" много интересного.

1 Замечательный римский поэт Публий Овидий Назоп жил в Риме на самом рубеже древней и нашей эры.

Так сказал о нем наш дорогой Пушкин в "Цыганах". А в "Евгении Онегине" Пушкин вспоминает о том, как Овидий умер изгнанником:

1 В Московском музее изобразительных искусств имепи А. С. Пушкива есть его произведения.

1 Когда приходится говорить о замечательной деятельности Н. И. Лобачевского, то некоторые обстоятельства его многотрудной жизни до сих пор ставят исследователя в тупик. Есть основания думать, что то тяжкое нравственное одиночество научного работника, в которое был поставлен Лобачевский бессмысленными преследованиями и издевательствами, оказало самое пагубное влияние на всю его жизнь. Обращает на себя внимание такой крайне странный эпизод. В Юрьеве (Дерпте, теперешний Тарту) работал будущий академик Ф. Г. Миндинг, ученик Гаусса. В 1840 году Миндинг печатает в том же самом журнале Крелле статью, где, опираясь на новые работы Гаусса, приходит к некоторым выводам, очень близким к выводам Лобачевского. Но ни замкнувшийся в себе Лобачевский не замечает этой статьи, ни Миндинг не замечает совпадения своих взглядов с идеями Лобачевского!

А Бельтрами отлично замечает это совпадение и на нем, в частности, строит свое оправдание всей геометрии Лобачевского. Так что в сущности признание свое (косвенное, правда!) гениальное произведение Лобачевского получило именно в России...

Но увы! Оно прошло незамеченным, пока не попало через четверть века в руки Бельтрами (см. статью Э. К. Хилькевича "Распространение и развитие идей Лобачевского" в сборнике "Историко-математические исследования", М., Гостехгиз, 1949, вып. II, стр. 179 и далее). В высшей степени любопытно еще и то, что В. И. Ленин в своей работе "Материализм и эмпириокритицизм" (изд. 4, т. 14, стр. 221), критикуя взгляды Гельмгольца, в сущности выступает в защиту великих идей Лобачевского (см. у Хилькевича, стр. 221-222).