— 58 —
фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.
— Как это? — спросил Илюша.
— Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты — линиями, соединяющими эти точки.
Илюша начертил фигуру, нарисованную внизу.
— Ну вот, — сказал Радикс. — Это и есть схема путей и перекрестков на ордене Уникурсала Уникурсалыча. Ясно, что вопрос о том, можно ли обойти все мосты, проходя через каждый только один раз, сводится к вопросу, можно ли вычертить эту фигуру непрерывным движением, то есть уникурсальна она или нет.
Илюша начал рассматривать схему, раза два сбился и наконец ответил:
— Тут выходит четыре нечетных узла — А, В, С и D.
— Ну, вот тебе и решение! -усмехнулся Радикс. — Мы с тобой сейчас установили, что в уникурсальной фигуре может быть любое число четных узлов и не более двух нечетных. Если в фигуре есть только четные узлы, то обход фигуры можно
— 59 —
начать с любой точки.
Если в фигуре есть два нечетных узла, то нужно начать обход именно с одного из них, а закончить в другом нечетном узле. А теперь представь, что тебе дана очень сложная фигура без нечетных узлов или с двумя нечетными узлами. Какие основания утверждать, что ты, выйдя из первого нечетного узла, сможешь обойти ее всю, не проходя ни одного пути дважды?
— Если она не состоит из нескольких несвязанных частей, то я, конечно, могу попасть в любую точку, а в четных узлах застрять не могу…
— Таким образом, раньше всего надо сказать, что фигура должна быть связной. А не может ли случиться, что ты, проходя через четные узлы, оставишь в стороне какую-нибудь часть фигуры так, что к ней уже больше нельзя будет добраться, а потом застрянешь во втором нечетном узле и не обойдешь всю фигуру?
— Как же это может случиться? — спросил Илюша.
— А вот, например, если на нашем первом чертеже, где два ромба соединены перемычкой, ты сначала пойдешь не по сторонам одного из ромбов, а по этой перемычке. Однако то же самое может случиться и как-нибудь иначе, если ты незаметно для себя разобщишь две части фигуры и она потеряет связность. Это значит, что свободных, то есть еще не пройденных путей, соединяющих две эти части, уже не останется.
Представь себе, что путь, по которому ты только что прошел, тем самым вычеркнут: ведь второй раз по нему идти нельзя, и, следовательно, он для тебя уже больше не существует.
Вот тебе фигура: если ты пойдешь по пути ABCDEA{4}, то вычеркнешь путь BCDE, а ромб CFDG окажется отрезанным.
— Значит, я шел неправильно. Мне надо было прежде из D попасть не в Е, а обойти сперва ромб DFCG, то есть идти в F или G.
— Это, конечно, верно, но только для данного случая. Вот ты говоришь, что шел неправильно. Но для того, чтобы идти правильно, надо показать, что возможно найти правильный способ обхода и при этом не для какой-нибудь определенной фигуры, а в самом общем виде, то есть для любой заданной фигуры, как бы она ни была сложна. Не забудь, что при этом ты должен будешь рассуждать, не зная ничего об этой фигуре,
— 60 —
кроме того, что это фигура связная и что в ней нечетных узлов или совсем нет, или только два. Именно так следует поставить задачу общего математического доказательства.
— Я буду рассуждать так. Раз это фигура связная, то, значит, я имею возможность так или иначе из первого узла попасть в тот, где должно закончиться мое путешествие, то есть либо во второй нечетный узел, либо, если это фигура только с одними четными узлами, вернуться обратно в начальный узел. Чтобы не путаться, я самый простой такой маршрут отмечу красной линией, а остальные оставлю черными. А затем пойду по этой красной линии, но в каждом узле буду останавливаться и проверять, нет ли из него еще черных путей, которые надо обойти раньше, чем отправиться дальше по красному маршруту. Вот это и значит «идти правильно».
— Нет, — ответил Радикс, — это еще не всё. Почему ты так уверен, что можешь обойти каждую из твоих черных фигур?
— Потому что все узлы у них четные. И если в точках, через которые проходят и красные пути, не считать этих красных путей, то для черных путей и эти узлы тоже будут четными…
— Справедливо! Но ведь таким образом мы приходим к той же самой задаче: снова надо доказать, что можно обойти эти фигуры. И вот мы подошли к самому важному пункту нашего рассуждения. Теперь будет не так трудно. Потому, что нам удалось привести задачу об обходе фигуры с некоторым данным числом путей к задаче об обходе фигуры с меньшим числом путей. Понимаешь?
— Понимаю! — воскликнул Илюша. — А эти новые, более простые задачи я опять сведу к таким же, но еще более простым… И так можно каждый раз уменьшать число путей, а ведь нам дано только некоторое определенное число путей…
— Будем говорить — конечное число путей.
— Хорошо. А так как нам дано конечное число путей, то в конце концов все они будут исчерпаны. А следовательно, я доказал, что всякую связную фигуру, у которой нечетных узлов или нет совсем, или их только два, можно обойти непрерывным движением, проходя по каждому пути только один раз, то есть, другими словами, что всякая такая фигура действительно уникурсальна. И при этом я нашел и общее правило такого обхода.
— Попробуй теперь изложить это правило коротко и ясно, то есть сформулировать его.
— Мы начинаем наше путешествие в одном из нечетных узлов, а если их нет, то в каком угодно. Потом наметим какой-
— 61 —
нибудь маршрут, который вернет нас в начальный узел или в случае двух нечетных узлов приведет во второй нечетный узел. Затем идем в обход, погашая в каждом узле тем же способом все те черные закоулки, которые не вошли в наш маршрут. Вот и всё.
— Хорошо, — отвечал Радикс. — А как ты полагаешь, надо ли заранее намечать маршрут или можно обойтись и без этого?
— Мне кажется, — начал Илюша, — что нельзя только упускать из виду того, что путь следует выбрать так, чтобы не нарушить связность фигуры. То есть я могу, например, при первой встрече с черным закоулком не обращать на него внимания, но надо обязательно обойти его из того узла, в котором я должен с ним расстаться. На чертеже (стр. 60) вот что получается: я могу пройти мимо черного закоулка — ромба CFGD, когда я дойду до узла С, но нельзя этого делать, когда я буду в узле D. Ну, разумеется, я говорю о том случае, когда мы двигаемся по направлению от В к Е.
— Так, — благосклонно отвечал Радикс, — все это верно. И, в общем, ты рассуждал довольно мило. Ну, а теперь уж тебе не так трудно будет доказать и еще один пункт, а именно: что всякое путешествие по уникурсальной фигуре, при котором ты, проходя через пути, не нарушаешь связности, приведет тебя к цели. Постарайся теперь это сформулировать?
— По-моему, это уже совсем просто. Мы идем вперед, не нарушая связности. Число путей у нас все время в силу этого уменьшается. Ясно, что в конце концов мы обойдем все пути.
— Точно, правильно, прекрасно! — задумчиво пробормотал Радикс. — А теперь вот что: дана фигура с несколькими нечетными узлами, и если их больше чем два, то она не уникурсальна.
Возникает вопрос: сколько надо сделать в таком случае обходов? Вот тебе фигура с четырьмя нечетными узлами.
Фигура с четырьмя нечетными узлами.
Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов имеется в фигуре. Это вполне естественно. Вот тебе еще задачка. Возьмем твой первый чертеж — два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом). Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетными узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить. Только с четными узлами или с двумя
— 62 —
Мост цел.
Мост разорван
нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.
