— Ясно. И плана у него не было. Он просто шел… Ведь нить Ариадны отмечала уже пройденный путь, так что если она попадалась ему поперек дороги — это значило, что он попал в петлю и пришел на то самое место, где уже был. И это,
— 67 —
Лабиринт УУУ.
План его путей
наверно, было сперва довольно жутко! Идешь, идешь и вдруг видишь — твоя нить лежит в новом коридоре. То есть это только так кажется, что он новый, а на самом-то деле ты уже в нем был (иначе откуда бы в нем взялась нить?). Что ж теперь делать?..
— 68 —
— Вот именно! — усмехнулся Радикс.
— Постой! — возразил мальчик. — Ты не торопись надо мной смеяться, это я просто рассуждаю вслух. Я хочу себе представить положение этого Тезея, которому казалось, что он идет вперед, а вдруг нить показывает, что он просто вернулся туда, где уже один раз был. Но ведь это как раз и означало бы, что он попал в петлю и находится в конце ее, там, где я ставил перегородку. Значит, чтобы правильно идти, он должен считать, что тот коридор, по которому он шел, перегорожен, то есть нужно вернуться, сдваивая нить. Тогда бы он шел точно так же, как я, когда превращал лабиринт в тупик. Значит, надо только следить за тем, чтобы идти ни разу не пересекать и не пропускать свободных коридоров, то есть идти как будто по тупиковому лабиринту.
— Отлично, юноша! — ответствовал Радикс. — Теперь ты, очевидно, сумеешь воспользоваться нитью Ариадны. Но у меня есть еще один маленький вопрос: нельзя ли эту нить из лабиринта вытащить обратно, чтобы вернуть ее с благодарностью царевне?
— Да очень просто: взять ее за конец и вытащить.
— Но ведь у тебя у выхода оба конца, то есть и начало и конец. Нельзя ли за оба конца взяться сразу?
— Из тупика можно, конечно, вытащить за оба конца…
Ах да, она и тут ведь лежит как в тупике! Ну разумеется, можно за оба конца тянуть.
— То-то и есть! А если бы ты бродил по лабиринту как попало, то за оба конца мог бы и не вытащить. Положим теперь, что ты уже дошел до центра лабиринта и надо идти назад. Не помогла бы тебе еще раз нить, то есть не смогла ли бы она указать, как сократить обратный путь?
— Если бы я, находясь в центре, натянул нить, прикрепленную у выхода, до отказа, наматывая ее на моток, то вытянул бы ее из всех лишних петель и тупиков и нашел бы самый короткий путь из центра к выходу.
— Самый короткий, ты полагаешь? Нет, братец, это неверно. Ты торопишься. Это не самый короткий, а только наибольшее сокращение того пути, по которому ты двигался и который был отмечен нитью. В центр от входа может вести несколько путей, и ты мог с самого начала попасть не на самый короткий из возможных маршрутов. Теперь мы все это разобрали, и остается только решить, как же обойти лабиринт, если нити Ариадны у нас нет.
— Тогда ничего другого не остается, как отмечать каким-нибудь способом на перекрестках те коридоры, по которым я прошел. Я бы ставил черточку на стенке того коридора, по которому пришел на перекресток, и на стенке того, по которому
— 69 —
Топологическая схема его путей.
Уникурсальная фигура обхода.
собираюсь уходить с этого перекрестка, и еще черточку, если я второй раз отправляюсь по уже пройденному, отмеченному коридору.
— Допустим, что ты ставишь эти черточки. Ну, а как же ими надо пользоваться?
— Основное правило такое: каждый раз, когда я прихожу на перекресток, где уже был, я должен возвращаться обратно,
—70—
если только это возможно. Так будет в том случае, если я пришел по новому коридору, в котором раньше не был (я бы это сразу заметил, потому что на стенке не было бы черточки). А если черточка уже есть, то я сейчас же ставлю вторую, которая запретит мне возвращаться на этот путь, потому что он обойден дважды. Тогда я должен идти по какому-нибудь — все равно по какому — из нехоженых коридоров, а если их больше нет, это означает, что я тут все исследовал и, следовательно, могу смело отправляться обратно по тому самому коридору, по которому пришел на этот перекресток в первый раз.
Этот коридор меня и поведет по правильному пути.
— Верно. Вот это и есть правило для двойного обхода всякого лабиринта. Но все ли случаи ты предусмотрел? Не может
Схема обхода лабиринта УУУ.
Придя в В по пути № 3, я вижу по отметкам, что уже был на перекрестке В, и поэтому возвращаюсь по тому же коридору путем № 4, чем погашается весь участок ВС по пути № 3-4. Так как в С я вижу теперь свободные коридоры, то выбираю один из них (№ 5), избегая пока коридора СВ, по которому я пришел в С первый раз. Из D я выбираю произвольный путь, например № 6, и, наткнувшись в С на свои отметки, возвращаюсь тем же коридором (путь № 7) в D, откуда одним из свободных коридоров (№ 8) попадаю в Е. Избрав путь № 9, я обязан вернуться тем же коридором (путь № 10) и теперь неизбежно попадаю в центр лабиринта (путь № 11 и 12), откуда возвращаюсь ко входу по единственной оставшейся дороге (№ 13, 14, 15, 16).
— 71 —
Схема превращения лабиринта УУУ в дерево.
ли случиться так, что тебе и обратно идти некуда будет и нехоженых коридоров больше нет, а отмеченных по одному разу — несколько, и ты не знаешь, какой выбрать?
— Нет, так случиться не может: ведь я пройти сквозь перекресток, придя по свободному коридору, не могу — в этом-то и заключается суть главного правила. Если я стою и размышляю, куда дальше идти, это значит, что я вернулся по тому самому коридору, который выбрал для того, чтобы уйти с перекрестка: теперь он отмечен уже двумя черточками. Значит, надо найти коридор с одной черточкой. Это будет первый коридор, по которому я пришел, и эта одна черточка указывает обратный путь. Если я очень устану прежде, чем обойду весь лабиринт, то могу по этому признаку в любой момент выбрать правильный путь для возвращения к выходу. С нитью это совсем просто: если натянуть ее, она пройдет через каждый перекресток, который мне необходимо пройти при возвращении по своим следам; один конец будет тянуться ко мне, а другой — к выходу.
— А теперь, — сказал Радикс, — рассмотрим еще раз наш способ двойного обхода в несколько иной форме. Ты помнишь, что мы с тобой говорили о дереве, когда толковали об уникурсальных кривых?
— Помню. Дерево — это такая связная фигура, которая состоит только из мостов и тупиков.
— Верно. Ну, а чем же отличается схема путей лабиринта от дерева?
— В лабиринте могут найтись петли, то есть замкнутые пути, а в дереве, как и в настоящем, ветки обратно в ствол его не врастают.
А если мы этот чертеж развернем:
— Вот именно! Но представь себе, что тебе пришлось повстречаться как раз с таким деревом-уродом, у которого некоторые ветки вросли обратно своими концами в ствол и
— 72 —
друг в друга. Что бы ты стал делать, чтобы обратить такого урода в обыкновенное дерево, в смысле расположения его ветвей, разумеется?
— Взял бы пилу или топор, залез на это дерево и стал отделять приросшие концы веток друг от друга и от ствола.
— Правильно. Так ведь это и есть твое первое правило, по которому ты, придя на перекресток, где уже был, возвращаешься обратно. Именно таким образом ты и превращаешь весь лабиринт в дерево. Если ты возвращаешься снова к своему пути, это означает, что ты пошел как бы по вросшей в ствол ветке и сделал круг. А когда ты не хочешь снова идти по основному пути и идешь вспять, то как раз и «отделяешь вросшую ветку», правда, действуя не топором, а просто запрещая себе перескакивать на основной путь.
Начерти-ка сам схему путей этого лабиринта и схему его обхода!
— Так, — отвечал Илья. — Теперь как будто все ясно. Действительно, если я должен облазить все дерево, значит, надо облазить каждую ветку, а спускаться вниз я начну только тогда, когда отмечу все ветки. Именно это я и буду делать в лабиринте, превращенном в дерево или в тупиковый лабиринт, если буду соблюдать второе наше правило, то есть не уходить с перекрестка по первому пути, пока есть другие, еще не пройденные дважды коридоры.
— Вот ты разберись хорошенько во всех наших схемах, особенно в схеме УУУ, и тогда все ясно станет. А потом попробуй сам на досуге поразмыслить вот над чем. Наше правило обеспечивает двойной обход лабиринта. А может быть, можно обходить дважды не все коридоры? Ведь схему коридоров лабиринта все же иногда удается превратить в уникурсальную фигуру, удваивая не все коридоры лабиринта. Ну-ка, попробуй найти какое-нибудь общее правило для этого. Ты сам пробовал ходить по лабиринту и знаешь, что это довольно утомительно. Нельзя ли как-нибудь уменьшить количество этих скучнейших, а быть может — кто знает? — и совершенно лишних хождений взад и вперед по одним и тем же коридорам? При этом, конечно, надо сделать так, чтобы весь лабиринт обойти, и в центре его побывать, и выйти на белый свет от-
