Бифуркационная диаграмма, или диаграмма Фейгенбаума, для логистического отображения.
* * *
Кроме того, в 1988 году двое ученых из MIT, Джеральд Джей Сассман и Джек Уисдом, показали, что движение Плутона также является хаотическим. На самом деле траектория Плутона особенно интересна: его орбита пересекается с орбитой Нептуна, и, возможно, в не столь далеком будущем Нептун и Плутон столкнутся, и произойдет настоящая космическая катастрофа. С помощью суперкомпьютера Сассман и Уисдом рассчитали траекторию Плутона на ближайшие 845 млн лет и обнаружили, что в силу неопределенности исходных условий две изначально близкие траектории будут существенно различаться уже спустя всего 20 млн лет — совсем небольшой промежуток времени по сравнению с возрастом Солнечной системы, который составляет как минимум 4,5 млрд лет. К счастью, при движении нашей планеты хаос не столь заметен: неточности при определении положения Земли начинают наблюдаться только по прошествии 100 млн лет.
Гиперион — спутник Сатурна неправильной формы. Фотография сделана зондом Кассини-Гойгенс.
Есть и другие примеры, показывающие, как проявляется хаос в нашей Солнечной системе. Пояс астероидов между Марсом и Юпитером движется под действием силы притяжения Солнца, однако подвержен колебаниям, вызванным притяжением Юпитера. Таким образом, можно говорить о задаче трех тел (Солнце, Юпитер и пояс астероидов). Некоторые движения в этой системе будут равномерными, другие — хаотическими. Астероиды, движущиеся равномерно, остаются на своих орбитах, а те, что движутся по хаотическим траекториям, через некоторое время сходят с орбит и теряются в космосе. Следовательно, астероиды распределены неоднородно, между ними есть промежутки — щели Кирквуда, названные в честь американского астронома, который открыл их еще в 1860 году. Если при вращении вокруг Солнца астероид пересекает одну из этих зон, его период вращения входит в резонанс с периодом обращения Юпитера, и газовый гигант уводит астероид с орбиты. Если астероид, сойдя с орбиты, направится к Марсу или к Земле, то гармонии в Солнечной системе придет конец. Нечто похожее происходит с полосами между кольцами Сатурна: частицы, движущиеся в зоне резонанса, сходят с орбит, в результате чего образуются щели.
* * *
АНТИНЬЮТОНОВСКИЙ МИР
Американский физик Джулиан Спротт (род. 1942) описал мир, параллельный нашему, в котором первые два закона Ньютона выполняются, а третий, закон действия и противодействия, — нет. В этом мире силы взаимодействия двух тел не равны по величине и противоположны по направлению, а равны и по величине, и по направлению. Иными словами, когда лягушка, севшая на кувшинку, спрыгивает с нее, то кувшинка не отклоняется назад, а словно бы тянется вслед за лягушкой. Итоговая динамика обладает рядом любопытных свойств, в число которых входит хаотическое по ведение в задаче двух тел.
Хаотическая орбита в антиньютоновской задаче двух тел.
* * *
Но удивительнее всего хаотическое поведение не сложных систем (Солнечная система, погода, климат, атмосфера), а очень простых — оно свойственно, в частности, обычному маятнику. И действительно, если мы рассмотрим двойной маятник, который представляет собой обычный маятник, к концу которого подвешен еще один, то увидим, что при превышении определенного уровня энергии его движение становится хаотическим и абсолютно непредсказуемым.
Хаотическое движение двойного маятника.
* * *
НЕПЛОТНО ЗАКРЫТЫЙ КРАН
Многие из нас хотя бы раз наблюдали, как из неплотно закрытого крана капает вода. Но не все знают, что за этим явлением скрывается хаотическая система. Очень часто в падении капель нет никакой закономерности, и предсказать, когда упадет следующая капля, нельзя. Это явление изучил Роберт Шоу совместно с другими учеными из Калифорнийского университета. Его эксперимент начался с измерения временных промежутков между падениями отдельных капель с помощью микрофона. Затем полученные значения были сгруппированы попарно, и получилась последовательность пар чисел — точек плоскости. Изобразив эти точки на графике, исследователи получили сечение аттрактора. Если ритм падения капель был периодическим, на графике была видна разновидность предельного цикла, если же ритм был непериодическим, на графике наблюдался странный аттрактор. Это было не пятно, а структура, имеющая форму подковы — наиболее явного отпечатка, который оставляют операции растяжения и складывания траекторий, порождающие хаос. Здесь случайность опирается на детерминированный фундамент.
* * *
Основные области применения теории хаоса
В последние годы теория хаоса, нелинейная динамика и науки о сложности в целом играют важную роль в медицине, биологии и смежных областях. Слияние точных и гуманитарных наук всего за несколько лет доказало свою эффективность. До середины XX века медицину и физику, казалось, разделяла непреодолимая стена: единственным применением физики в медицине стало использование радиоволн для диагностики и лечения раковых заболеваний. Однако начиная с 1950-х годов в этой стене, к счастью для всех нас, стали возникать бреши: так, медицинская визуализация и получение изображений внутренних органов стали возможными только благо даря симбиозу математики, физики и медицины.
Теория хаоса также перестала быть наукой об абстрактных закономерностях и в руках специалистов превратилась в мощнейший инструмент. Применение теории хаоса в медицине не позволяет делать прогнозы и решать какие-либо частные задачи — оно скорее позволяет описывать некоторые аспекты поведения сложных биологических систем с помощью определенных «магических чисел», например экспонент Ляпунова, фрактальных размерностей и других. Иными словами, теория хаоса может использоваться при классификации состояний организма, наиболее ценным при этом будет не полученное числовое значение, а переформулирование медицинских задач, переход от наблюдений к моделированию и измерениям. Прекрасным примером этому служат кардиология, электроэнцефалография и магнитоэнцефалография. Через несколько лет исследования хаоса и фракталов в физиологии помогут получить важные показатели, позволяющие понять, что именно происходит в организме в ходе старения или во время болезни. Важнейшее открытие таково: организм здорового человека — сложная хаотическая система, организм больного человека, напротив, является строго упорядоченным.
Различные показатели работы сердца больного (в верхнем ряду) и здорового человека (в нижнем ряду). Периодичность и предсказуемость этих показателей свидетельствует о сердечных заболеваниях, в то время как у здорового человека показатели будут совершенно хаотическими.
С экспериментальной точки зрения эта проблема заключается в том, чтобы на основе временного ряда наблюдаемых или измеренных значений (пульса, ритмов мозговой активности) воссоздать развитие динамической системы (сердца или мозга соответственно) в фазовом пространстве, где мы сможем измерить и рассчитать магические числа хаоса: экспоненты Ляпунова, фрактальные размерности и так далее. Нам на помощь придет хитроумный прием, придуманный Давидом Рюэлем и Флорисом Такенсом: чтобы как-то воссоздать аттрактор системы, рассмотрим исходные значения с некоторым запаздыванием. Если мы имеем последовательность значений x1, x2, х3, х4 …, то можно образовать множество пар чисел (х1, x2), (x2, x3), (x3, x4). Эти точки определят некоторую траекторию на плоскости. Если мы сгруппируем числа в тройки, получим траекторию в пространстве. Таким образом, динамика нашей системы будет описываться динамикой этого множества точек, и мы сможем вычислить фрактальную размерность системы или ее экспоненты Ляпунова. Будем воссоздавать систему со все большим запаздыванием (то есть будем объединять данные не в пары или тройки, а в четверки, пятерки и так далее). Существует теорема, гласящая: если исходная система периодическая, то ее фрактальная размерность будет возрастать до определенного значения, после чего примет некоторое целое значение (то есть перестанет быть фрактальной, дробной) и будет оставаться неизменной. Если же исходная система хаотическая, то ее фрактальная размерность стабилизируется вблизи некоторого дробного значения и как минимум одна экспонента Ляпунова будет положительной.
