«Физик или инженер скажет нам: „Можете ли вы проинтегрировать это дифференциальное уравнение? Результат понадобится мне через восемь дней, чтобы закончить проект здания в срок". Мы ответим: „Это уравнение не относится ни к одному из интегрируемых типов, и вам прекрасно известно, что других типов не существует". „Да, это мне известно, но для чего же тогда нужны вы, господин математик?" Ранее уравнение считалось решенным только тогда, когда его решение можно было представить с помощью конечного числа известных функций, однако найти решение в таком виде можно едва ли для одного процента уравнений. Мы всегда можем решить любую задачу „качественно", то есть попытаться определить общий вид кривой, описывающей неизвестную функцию».
Хаос помогает увидеть взаимосвязи, формы и структуры там, где никто не подозревает. В хаосе присутствует порядок: случайность описывается геометрически.
При подтверждении научной теории следует придавать большее значение геометрии, а не результатам экспериментов, то есть не количественным, а качественным факторам. Актуальный пример этому мы приведем в следующих главах, где будем говорить о глобальном изменении климата: метеорологи и климатологи часто жертвуют точностью прогноза, чтобы понять общую картину. Они ежедневно сталкиваются с нелинейными задачами и вынуждены делать выбор: составить точную модель, позволяющую делать прогнозы (существование такой модели по определению невозможно), или предпочесть ей упрощенную модель, чтобы рассмотреть явление в общих чертах. Цель науки — не только прогнозирование, не только поиск набора эффективных рецептов, но и понимание природы вещей.
К примеру, Декарт своей теорией вихрей и движущейся материи объяснял всё, но не предсказывал ничего. Ньютон, напротив, своими законами и теорией тяготения рассчитал всё, но не объяснил ничего. История подтвердила правоту Ньютона, а измышления Декарта отошли в область фантазий. На протяжении многих веков на первый план выдвигалась именно возможность составления прогнозов. Ньютоновская теория тяготения одержала верх над декартовой теорией вихрей, низвергнув ее в небытие. С математическими моделями теории хаоса происходит то же самое, что и с теориями Декарта: они имеют качественный характер и не могут применяться для составления прогнозов или как руководство к действию, а служат скорее для описания и понимания явлений природы.
Если математика и физика прошлого изучали круги и часовые механизмы, то математика и физика наших дней интересуются фракталами и облаками.
Глава 4. Математическое описание глобального изменения климата
То, что можно полностью контролировать, никогда не бывает полностью реальным; то, что реально, никогда не бывает полностью контролируемым.
Владимир Набоков
Если бы человечество могло составить список самых насущных проблем третьего тысячелетия, одной из них наверняка стало бы глобальное изменение климата. Это многогранная задача, которая имеет не только научный, но, как вы увидите далее, экономический и политический аспект. Мы рассмотрим эту проблему с точки зрения математики, поскольку математика хаоса играет в ней очень важную роль.
Математика и экология
Математическая экология — раздел математики, пребывающий в более чем почтенном возрасте: он «повзрослел» еще два столетия назад, в XIX веке. В то время многие ученые стали применять математические методы для изучения взаимоотношений между живыми организмами и окружающей средой. Мы уже знакомы с некоторыми из этих ученых, в частности с Пьером Франсуа Ферхюльстом, который описал логистическое отображение для моделирования динамики численности определенных популяций. К числу этих ученых принадлежал и итальянский математик и физик Вито Вольтерра (1860–1940), известный тем, что сформулировал систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывавших динамику биологической системы, в которой между собой взаимодействовали всего два вида живых существ — хищники и жертвы. Однако математика оказалась полезной не только при изучении динамики численности популяций, но и, уже в XX веке, при моделировании погоды и климата — двух систем, элементами которых являемся мы, люди. Глобальное изменение климата представляет собой междисциплинарную задачу: ее решением занимаются климатологи, метеорологи, физики, геологи, биологи, экономисты. Климатическая система относится к сложным системам и состоит из пяти подсистем: атмосферы (воздуха), гидросферы (воды), литосферы (земли), криосферы (льда) и биосферы (живых организмов). Бесконечную сложность окружающей среды нельзя понять, не изучив множество связей между экосистемами Земли.
* * *
ЦИКЛ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»
Уравнения модели «хищник — жертва» описывают, к примеру, изменение численности популяции волков и зайцев. Численность зайцев возрастает экспоненциально, и в то же время она уменьшается, поскольку зайцы — единственная добыча для волков. Чем больше зайцев — тем больше волков. Но чем больше будет волков, тем меньше будет зайцев, в результате популяция волков также уменьшится, после чего все начнется сначала. Следовательно, траектории, определяемые этой системой на фазовой плоскости, будут периодическими орбитами.
Фазовая плоскость динамической системы «хищник — жертва».
* * *
Климат и погода
Одна из причин, по которой изменение климата стало одной из самых актуальных тем начала XXI века, относится к социологии: любое аномальное погодное явление, в том числе никак не связанное с изменением климата, может быть заснято очевидцем и показано телеканалами всего мира. К примеру, средства массовой информации объясняют глобальным изменением климата разрушительное цунами, которое обрушилось на Индонезию в 2004 году, или ураган Катрина, от которого пострадал Новый Орлеан в 2005-м. Тем не менее причиной этих катастроф не было глобальное изменение климата: индонезийское цунами произошло в результате землетрясения, а разрушения, причиненные Катриной, объяснялись скорее неподготовленностью городских властей.
Возможно, обсуждение темы стоит начать с прояснения различий между погодой и климатом. Погода — это состояние атмосферы в определенной местности в конкретный момент. Пример: сегодня в нашем городе солнечная погода. Климат, напротив, это состояние атмосферы, наблюдаемое на протяжении многих лет. Точнее говоря, климат — это среднее состояние атмосферы, многолетний режим погоды, наблюдаемый на протяжении более 30 лет. Пример: в нашем городе влажный климат, так как у нас часто идут дожди. Таким образом, в выбранный день года в Мадриде, Лиссабоне и Риме может наблюдаться одинаковая погода, однако эти города расположены в регионах с разным климатом.
Следовательно, климат — это последовательность атмосферных характеристик в конкретной местности, определяющая, какая погода будет наблюдаться чаще всего. Следовательно, экстраординарные явления, такие как цунами или ураган, если только они не повторяются регулярно, не имеют ничего общего ни с климатом, ни с глобальным его изменением.
Глобальное потепление
Существует ли глобальное изменение климата? Если быть точными, климат менялся, меняется и будет меняться, поскольку он представляет собой динамическую систему.
К примеру, в конце X века, когда Эрик Рыжий с дружиной достиг Гренландии, он увидел зеленые луга (отсюда и название Гренландии — «зеленая земля») и основал на острове процветающую колонию. Позднее, в начале XV века, наступил Малый ледниковый период, ледники увеличились в размерах, и колонии викингов прекратили существование. Это изменение климата было не единственным в нашей эре: спустя несколько столетий после Рождества Христова наблюдался период потепления, на который пришлось падение Римской империи. Можно привести еще один пример из не столь далекого прошлого: с середины XIX века, когда завершился Малый ледниковый период, наблюдается период потепления, прерванный легким похолоданием в 1940–1975 годах.
