Я надеюсь, что все идеи, описанные в этой книге, покажутся вам увлекательными и не раз заставят воскликнуть: «Ну и ну!» Но всегда с чего-то нужно начинать, поэтому давайте начнем с простого, но такого завораживающего действия, как счет.
1. Основы чисел: сложение рыбок
Лучшую демонстрацию концепции чисел, которую я когда-либо видел (самое ясное и забавное объяснение того, что такое числа и зачем они нам нужны), я наблюдал в одном из выпусков популярной детской передачи «Улица Сезам», который называется «123: считаем вместе» (123 Counter with Me). Хамфри, добродушный, но недалекий персонаж с розовой шерсткой и зеленым носом, работающий в отеле «Мохнатые лапы», в обеденное время принимает по телефону заказ от пингвинов-постояльцев. Внимательно их выслушав, Хамфри передает заказ на кухню: «Рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка». Увиденное побуждает Эрни рассказать Хамфри о достоинствах числа шесть.
Дети узнают, что числа — великолепный инструмент, который позволяет получить нужное количество порций быстрее. Вместо того чтобы повторять слово «рыбка» столько раз, сколько пингвинов в комнате, Хамфри может использовать более эффективный способ — посчитать и сразу назвать число шесть.
Впрочем, став старше, мы начинаем замечать у чисел и слабые стороны. Да, они прекрасно экономят время, но немалой платой за это становится их абстрактность. Число шесть более эфемерно, чем «шесть рыбок» — именно потому, что оно универсально. Шесть может быть чего угодно: шесть тарелок, шесть пингвинов, шесть раз произнесенное слово «рыбка». Число создает некую неявную общность между приведенными примерами.
Рассматриваемые таким образом числа начинают казаться мистическими. Они, очевидно, существуют в некоем идеальном мире Платона, где-то над действительностью, и в этом смысле больше походят на другие возвышенные понятия (например, истина и справедливость) и меньше — на обычные объекты повседневной жизни. Чем активнее вы о них думаете, тем дальше они удаляются от реальности. Как появились числа? Изобрели ли их люди? Или лишь обнаружили?
Еще один нюанс заключается в том, что числа (как и все математические идеи) живут своей жизнью1. Они нам неподвластны, хотя и присутствуют в наших умах. Даже определив, что мы под ними понимаем, мы не можем предсказать, как они себя поведут. Они подчиняются определенным законам и имеют определенные свойства, индивидуальные особенности и способы объединения друг с другом, и мы ничего не в силах с этим поделать, кроме как наблюдать и пытаться понять. В этом смысле они похожи на атомы и звезды: объекты, которые также существуют по своим (неподконтрольным нам) законам и находятся вне зоны нашего сознания.
Эта двойственная природа чисел — принадлежность к небесам и земным делам, — возможно, их самая парадоксальная черта и особенность, которая делает их настолько полезными. Это то, что имел в виду физик Юджин Вигнер, когда писал о неблагоразумной эффективности математики в естественных науках2.
Для того чтобы прояснить, что я имею в виду под жизнью чисел и их поведением, которое мы не можем контролировать, давайте вернемся в отель «Мохнатые лапы». Предположим, что Хамфри как раз собрался передать заказ, но тут ему неожиданно позвонили пингвины из другого номера и тоже попросили такое же количество рыбы. Сколько раз Хамфри должен прокричать слово «рыбка» после получения двух заказов? Если бы он ничего не узнал о числах, то ему пришлось бы кричать столько раз, сколько всего пингвинов в обеих комнатах. Или, используя числа, он мог объяснить повару, что ему нужно шесть рыбок для одного номера и шесть для другого. Но то, что ему действительно необходимо, представляет собой новую концепцию — сложение. Как только он его освоит, он с гордостью скажет, что ему нужно шесть плюс шесть (или, если он позер, двенадцать) рыбок.
Это такой же творческий процесс, как и тот, когда мы только придумывали числа. Так же как числа упрощают подсчет по сравнению с перечислением по одному, сложение упрощает вычисление любой суммы. При этом тот, кто производит подсчет, развивается как математик. По-научному эту мысль можно сформулировать так: использование правильных абстракций приводит к более глубокому проникновению в суть вопроса и большему могуществу при его решении.
Вскоре, возможно, даже Хамфри поймет, что теперь он всегда может производить подсчет.
Однако, несмотря на столь бесконечную перспективу, наше творчество всегда имеет какие-то ограничения. Мы можем решить, что подразумеваем под 6 и +, но как только это сделаем, результаты выражений, подобных 6 + 6, окажутся вне нашего контроля. Здесь логика не оставит нам выбора. В этом смысле математика всегда включает в себя как изобретение, так и открытие: мы изобретаем концепции, но открываем их последствия. Как станет ясно из следующих глав, в математике наша свобода заключается в возможности задавать вопросы и настойчиво искать на них ответы, однако не изобретая их самостоятельно.
2. Каменная арифметика
Как и любое явление в жизни, арифметика имеет две стороны: формальную и занимательную (или игровую).
Формальную часть мы изучали в школе. Там нам объясняли, как работать со столбцами чисел, складывая и вычитая их, как перелопачивать их при выполнении расчетов в электронных таблицах при заполнении налоговых деклараций и подготовки годовых отчетов. Эта сторона арифметики кажется многим важной с практической точки зрения, но совершенно безрадостной.
С занимательной стороной арифметики можно познакомиться только в процессе изучения высшей математики3. Тем не менее, она так же естественна, как и любопытство ребенка4.
В эссе «Плач математика» Пол Локхарт предлагает изучать числа на более конкретных, чем обычно, примерах: он просит, чтобы мы представили их в виде некоторого количества камней. Например, число 6 соответствует вот такому набору камешков:
Вы вряд ли увидите тут что-то необычное. Так оно и есть. Пока мы не приступим к манипуляциям с числами, они выглядят примерно одинаково. Игра начинается, когда мы получаем задание.
Например, давайте посмотрим на наборы, в которых есть от 1 до 10 камней, и попробуем сложить из них квадраты. Это можно сделать только с двумя наборами — из 4 и 9 камней, поскольку 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Мы получаем эти числа путем возведения в квадрат некоего другого числа (то есть раскладывая камни в виде квадрата).
Вот задача, имеющая большее число решений: надо узнать, из каких наборов получится прямоугольник, если разложить камни в два ряда с равным количеством элементов. Здесь подойдут наборы из 2, 4, 6, 8 или 10 камней; число должно быть четным. Если мы попробуем разложить в два ряда оставшиеся наборы с нечетным количеством камней, то у нас неизменно будет оставаться лишний камень.
Но не все потеряно для этих неудобных чисел! Если взять два таких набора, то лишние элементы найдут себе пару, и сумма получится четной: нечетное число + нечетное число = четное число.
Если распространить эти правила на числа, идущие после 10, и считать, что количество рядов в прямоугольнике может быть больше двух, то некоторые нечетные числа позволят сложить такие прямоугольники. Например, число 15 может составить прямоугольник 3 × 5.
Поэтому хотя 15, несомненно, нечетное число, оно является составным и может быть представлено в виде трех рядов по пять камней в каждом. Точно так же любая запись в таблице умножения дает собственную прямоугольную группу камешков.
Но некоторые числа, вроде 2, 3, 5 и 7, совершенно безнадежны. Из них нельзя выложить ничего, кроме как расположить их в виде простой линии (одного ряда). Эти странные упрямцы — знаменитые простые числа.
Итак, мы видим, что числа могут иметь причудливые структуры, которые наделяют их определенным характером. Но, чтобы представить весь спектр их поведения, надо отстраниться от отдельных чисел и понаблюдать за тем, что происходит во время их взаимодействия.
Например, вместо того чтобы сложить всего два нечетных числа, сложим все возможные последовательности нечетных чисел, начиная с 1:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Удивительно, но эти суммы всегда оказываются идеальными квадратами. (О том, что 4 и 9 можно представить в виде квадратов, мы уже говорили, а для 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 это тоже верно.) Быстрый подсчет показывает, что это правило справедливо и для больших нечетных чисел и, видимо, стремится к бесконечности. Но какая же связь между нечетными числами с их «лишними» камнями и классически симметричными числами, образующими квадраты? Правильно располагая камешки, мы можем сделать ее очевидной, что является отличительной чертой изящного доказательства.5
