Глава 5
Математика для композитора
Настоящий художник должен предельно строго регламентировать свою жизнь. Вот точный график моих ежедневных действий.
Подъем в7 ч. 18 мин. Первое вдохновение от 10:23 до 11:47. Затем я завтракаю в 12:11 и аккуратно встаю из-за стола в 12:14. Оздоровительная прогулка верхом по главным аллеям моего парка от 13:19 до 14:53. Очередное вдохновение от 15:12 до 16:07. Различные важные занятия (фехтование, мышление, неподвижность, визиты, созерцание, ловкость рук, беглость, плавание и так далее) от 16:21 до 18:47 включительно. Обед подается к 19:16 и длится до 19:20 без перерыва. Симфонические чтения вслух с выражением от 20:09 до 21:59. Я ложусь в постель строго в 22:37. Промедление невозможно. Один раз в неделю вскакиваю рывком в 3:19 (только по вторникам).
Эрик Сати
В предыдущих главах мы рассказали, как с помощью математики можно описать различные свойства музыки и ее суть. В этой главе, напротив, будет солировать математика: мы расскажем о том, как авангардисты начала прошлого века пытались определить пределы тональной музыки, используя различные математические инструменты.
Тональный эгалитаризм: додекафония
В начале XX века тональная музыка переживала кризис. В поисках высшей экспрессивности Лист и в еще большей степени Вагнер и Штраус довели принципы, на которых основывался хроматический строй, практически до предела, что означало отсутствие тональности. Как результат, возникла «атональная» музыка, в которой отсутствовал тональный центр. Одним из ярчайших представителей этого направления был Арнольд Шёнберг (1874–1951). Позднее, в начале 1920-х годов, этот австрийский композитор разработал технику музыкальной композиции, получившую название додекафония, которую стали использовать представители Новой венской школы, в частности Альбан Берг и Антон Веберн.
Что такое додекафония?
Термин «додекафония» (от греч. «двенадцать звуков») означает совокупность 12 звуков западной музыкальной системы. Эти 12 звуков соответствуют семи белым и пяти черным клавишам пианино. При использовании 12 звуков нужно учитывать два важных фактора:
— в додекафонии отсутствует однозначное определение звуков, которые ранее считались независимыми, например, ля-диез и си-бемоль. Эти звуки считаются эквивалентными;
— при указании каждого из 12 звуков речь идет обо всех подобных звуках. Так, когда упоминается до, имеется в виду не нота до конкретной октавы с конкретной частотой, а все ноты до различных октав. Таким образом, в додекафонии существует «всего» 12 звуков.
Додекафония подчинена основной идее атональной музыки: отказ от выделения в иерархии какой-то одной ноты (тоники) по отношению к остальным. В додекафонии был создан метод, позволяющий избежать преобладания одних нот над другими. Он заключается в том, что всем нотам присваивается одно и то же относительное значение и все ноты используются в композиции примерно одинаковое число раз.
* * *
НЕТ — ТРИДЕКАФОНИИ!
Может показаться забавным, что Шёнберг, создатель додекафонии, системы из 12 звуков, страдал оттрискаидекафобии — боязни числа 13. Причины этой фобии неизвестны. По-видимому, она появилась еще в древние времена, так как еще викинги избегали «чертовой дюжины», а в христианской традиции это число связывается с Иудой, который был тринадцатым на Тайной вечере. В древней Персии это число ассоциировалось с хаосом.
Боязнь числа 13 порой достигает невероятных размеров. Так, во многих городах, где улицы пронумерованы, нет улицы под номером 13; во многих зданиях нет 13-го этажа. В «Формуле-1» ни один автомобиль не имеет номер 13. Американского актера Стэна Лорела из знаменитого дуэта Лорела и Харди на самом деле звали Стэн Джеферсон (13 букв); он сменил фамилию из-за боязни числа 13. Некоторые музыканты также демонстрировали по меньшей мере предубеждение к этому числу: американец Джон Мэйер записал 14 композиций для своего альбома Room for Squares, но композиция под номером 13 содержит лишь две секунды тишины, а в нумерации композиций на этом альбоме число 13 пропускается.
Арнольд Шёнберг родился 13 сентября 1874 года. Он изменил название своей оперы Moses und Aaron («Моисей и Аарон») на Moses und Aron, так как первый вариант названия содержал 13 букв. Он боялся умереть в год, кратный числу 13, и в 1950 году, когда ему исполнилось 76 лет (7 + 6 = 13), он впал в депрессию. Он умер в пятницу 13 июля 1951 года. В свою очередь Альбан Берг был одержим числом 23, которое считал фатальным. Тем не менее это число часто используется в его Лирической сюите: многие ее части имеют число тактов, кратное 23, равно как и темп метронома.
* * *
Серии
Чтобы достичь этой цели, в додекафонии используется ряд правил. Например, чтобы слушатель не заострял внимание на определенных нотах больше, чем на остальных, композиции должны содержать полные циклы из всех 12 нот. После того как была использована одна нота, ее можно использовать снова только тогда, когда будет завершен цикл из 12 нот.
Ноты циклов не располагаются в беспорядке — напротив, в основе каждой композиции лежит «серия» — четко упорядоченная последовательность из 12 звуков хроматической гаммы.
Однако серия — это не просто группировка звуков с целью их статистического подсчета, а эквивалент традиционного мотива. В этом смысле додекафония признает себя продолжателем западной музыкальной традиции. Изображенная ниже серия используется в Сюите ор. 25 Шёнберга — одном из первых произведений, в котором применена система из 12 звуков.
Композитор наряду с основной серией создает другие, связанные или производные серии. Они получаются с помощью преобразований, которые мы рассмотрели в главе 3: инверсии, ракохода и транспозиции.
Существует четвертое преобразование, популярное у некоторых композиторов, — поворот. Если мы представим серию в виде круга (соединив первую ноту с последней), поворот будет эквивалентен началу серии с любой из точек круга.
Может показаться, что додекафоническая запись не требует особого творчества, потому что в ней используются серии. Да, применение серий составляет саму суть додекафонии, но каждый композитор подстраивает их к своим потребностям. На основе серии композитор может использовать разнообразные приемы: запись нот серии в разных октавах и для разных инструментов; начало исходной или преобразованной серии до того, как закончено исполнение предыдущей; работа с производными сериями, составленными из фрагментов исходной, и так далее.
* * *
КАКОВО ЧИСЛО ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ СЕРИЙ?
Первой нотой серии может быть любая из 12 возможных. После того как мы выбрали первую ноту, следующую можно выбрать из 11 оставшихся. Таким образом, число возможных вариантов для первых двух нот равно 12·11. Третьей нотой может быть любая из десяти оставшихся. Таким образом, число вариантов для первых трех нот равняется 12·11·10. Продолжив рассуждения, получим, что общее число возможных различных серий равно 12·11·10·9·…·3·2·1 = 479001600. Это число называется факториал 12 и записывается как 12!
Факториал любого целого положительного числа п определяется как произведение всех целых положительных чисел от 1 до n. Таким образом, n! = n·(n — 1)·…·2·1.
Однако для додекафонических серий подсчет «различных по сути» мелодий выглядит несколько сложнее, так как в этом случае не должны учитываться транспозиции, инверсии, ракоходы и сочетания этих преобразований. Тщательные подсчеты показывают, что число различных серий равно 9 985 920.
* * *
Числовая и матричная форма
Традиционные партитуры, в которых используется нотный стан, подчиняются логике диатонической музыки. Одним из следствий этого является тот факт, что расстояние между соседними линиями нотного стана и промежутками между ними не всегда обозначает один и тот же музыкальный интервал. Иногда этот интервал состоит из двух полутонов (от ре до ми), иногда — из одного (от ми до фа). Из-за этого в додекафонической музыке используются альтерации. По этой причине, как видно из предыдущих примеров, инверсии и ракоходы додекафонических серий «не видны» на партитурах.
Серию также можно представить в числовом виде, что упрощает запись мелодии. При записи серий в числовом виде, как правило, выбирается исходная нота. В следующем примере исходной нотой является ми, которой присвоено значение 0. Далее последовательно нумеруются полутона: фа обозначается 1, фа диез — 2, соль — 3 и так далее.
При представлении серии в числовом виде для нахождения связанных серий можно использовать средства арифметики. Например, транспозиция серии получается прибавлением одного и того же числа k к каждому элементу серии:
