При представлении серии в числовом виде для нахождения связанных серий можно использовать средства арифметики. Например, транспозиция серии получается прибавлением одного и того же числа k к каждому элементу серии:
Tk(s1, s2, …, s12) —> (s1 + k, s2 + k, …, s12 + k),
T0(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6),
T1(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (1, 2, 4, 10, 3, 0, 3, 11, 8, 9, 6, 7),
T2(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (2, 3, 5, 11, 4, 1, 6, 0, 9, 10, 7, 8),
…
T7(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (7, 8, 10, 4, 9, 6, 11, 3, 2, 3, 0,1),
…
T12(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (11, 0, 2, 8, 1, 10, 3, 9, 6, 7, 4, 5).
После 11 счет снова начинается с 0, точно так же как мы считаем часы: 8 часов утра плюс 7 часов равно 3 часам дня. В математике подобные операции на ограниченных множествах чисел называются модулярной арифметикой. В случае с додекафоническими сериями множество чисел имеет всего 12 элементов в интервале от 0 до 11. Число элементов множества называется модулем (в нашем случае модуль равен 12). В арифметике по модулю 12 число 13 эквивалентно числу 1. Записывается это так:
13 1 (mod 12).
Все числа вида 12k + 1, где k — целое, эквивалентны 1:
25 1 (mod 12),
37 1 (mod 12),
49 1 (mod 12),
61 1 (mod 12),
Как мы уже говорили, в додекафонии не проводятся различия между одинаковыми нотами, которые относятся к разным октавам. Арифметика по модулю 12 отражает этот факт: число 1, которым в нашем примере обозначена нота фа, равно 13, которым снова обозначается фа.
Средства модульной арифметики помогают заметить, что инверсия серии эквивалентна замене всех значений от 0 до 11 (то есть значений всех различных нот) разницей между этим значением и 12. При таком преобразовании значение 1 заменится на 11, 2 — на 10, 3 — на 9 и так далее. Для серии, которую мы рассматривали
в качестве примера, получим:
I(s1, s2, ...,s12) —> (s1, 12 — s2,…, 12 — s12)
I(0,1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 11, 9, 3, 10, 1, 8, 2, 5, 4, 7, 6).
Ракоход, в свою очередь, получается «обращением» числового ряда слева направо:
R(s1, s2, ..., s12) —> (s12, s11, ..., s1)
R(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (6, 5, 8, 7, 10, 4, 11, 2, 9, 3, 1, 0).
Исходная серия вкупе с ее инверсией, ракоходом и с 12 возможными транспозициями для каждого из этих преобразований формирует 4·12 = 48 перестановок, которые может использовать композитор. Если учитывать повороты, то число вариантов возрастет до 48·12 = 576.
Эти 48 форм можно записать в виде матрицы размером 12 x 12, опираясь на следующие правила:
— в первой строке T0 записывается исходная серия (в нашем примере выделена жирным шрифтом);
— в первом столбце I0 записывается инверсия серии (также выделена жирным);
— в каждой из оставшихся ячеек записывается сумма (по модулю 12) чисел, с которых начинаются соответствующая строка и столбец. Например, пятая строка начинается с числа 10, четвертый столбец с числа 9, следовательно, на пересечении этой строки и этого столбца необходимо записать число 7, так как 10 + 9 = 19 7 (mod 12).
12 строк матрицы будут содержать исходную серию со всеми возможными транспозициями, 12 столбцов — инверсию исходной серии со всеми возможными транспозициями. Ракоходы этих 24 серий можно получить, если изменить направление обхода матрицы: строки нужно читать справа налево, столбцы — снизу вверх.
Круговая форма
Представление серии в форме круга особенно полезно при изучении додекафонии. Например, в круговой форме серия из ор. 25 Шёнберга выглядит так:
Чтобы получить ракоход серии, нужно всего лишь изменить направление обхода на противоположное:
Чтобы получить инверсию серии, достаточно отобразить ее симметрично самой себе относительно оси, проходящей через основной тон:
Для транспозиции нужно повернуть круг на необходимое число «часов»:
Инверсию транспозиции можно получить отражением относительно нужной оси:
Круговая форма позволяет лучше увидеть внутреннюю структуру некоторых серий. Например, в основе серии Струнного квартета ор. 28 Антона Веберна, о которой мы уже рассказывали, лежит тема ВАСН:
Если представить эту серию в круговой форме, то ее симметрия становится более наглядной. На рисунке ниже ось симметрии серии обозначена пунктирной линией. Благодаря такому расположению серия S совпадает со своей ракоходной инверсией при транспозиции на три полутона вниз. Иными словами, эта серия получается из исходной путем применения уже известных вам функций ракохода (R), инверсии (I) и транспозиции (Т), последняя из которых применяется трижды:
Тема ВАСН, которая сама по себе является симметричной, звучит в серии трижды: первый раз в исходном виде, второй — в инвертированном и транспонированном, третий — в транспонированном:
В круговом представлении повороты связывают последние ноты с первыми, замыкая круг. Таким образом, обход серии может начинаться с любой точки круга.
Альбан Берг
Третьим выдающимся представителем Новой венской школы был Альбан Берг (1885–1935). Он владел богатым музыкальным языком, и использование приемов додекафонии не помешало ему придать своим композициям в высшей степени экспрессивный характер. Среди наиболее известных его произведений — оперы «Воццек» и «Лулу», Лирическая сюита для струнного квартета и Концерт для скрипки с оркестром «Памяти ангела». Серия из последней композиции (представлена на рисунке)
обладает удивительной симметрией, которую можно заметить, если представить серию в форме круга:
Для этой серии характерно созвучие тонов, которое становится очевидным, если записать серию в числовой форме (0, 3, 7, 11, 2, 5, 9, 1, 4, 6, 8, 10). Обратите внимание, что серия содержит последовательность из четырех больших и малых аккордов, тем самым восстанавливается квинтовый круг: 0–7, 7–2, 2–9 и 9–4. Круг завершается четырьмя последовательными тонами.
На следующей иллюстрации показаны эти цепочки квинт (исключены некоторые промежуточные элементы):
Сериализм, контроль и хаос
Додекафония открыла путь к созданию музыкальных композиций под сильным влиянием математических моделей. Те же принципы, которым соответствуют высоты звуков в сериях, вскоре стали применяться и к другим параметрам звуков. Изначально композиторы стремились сделать распределение звуков разной высоты статистически равномерным. Почему это же нельзя применить и к другим параметрам — интенсивности, длительности нот, тембру или регистру? По сути, этот метод ничем не будет отличаться от метода, использованного для распределения высот звуков. Например, можно составить таблицу, в которой будут перечислены 12 степеней динамики, начиная от пиано пианиссимо и заканчивая форте фортиссимо. Можно составить серию из уровней относительной громкости и работать с ней так же, как и с другими сериями:
Аналогично можно указать длительности нот или любой другой параметр, а затем применить к нему музыкально-математические преобразования. Представителями этого направления являются французский композитор Пьер Булез (р. 1925) и немецкий композитор Карлхайнц Штокхаузен (1928–2007), которые систематически использовали серии применительно к различным свойствам звуков. Это направление называется интегральный сериализм.
Булез разработал метод так называемого умножения блоков. Каждый из гармонических блоков А и В является аккордом — множеством звуков определенной высоты. При транспозициях блока А в качестве самой низкой ноты последовательно выбирается каждая нота блока В. Произведение А x В — это гармоническое соединение всех таких транспозиций.
