Чтобы понять, как выглядят сечения гиперкуба при срезах параллельно квадратной грани, надо представить сечения куба вдоль его граней или ребер. Как видно на рисунке ниже, квадратная грань образует квадратные сечения при движении, в то время как кусочки рассекаемой квадратной грани образуют прямоугольники, поэтому сечения гиперкуба будут представлять собой прямоугольные призмы с квадратными основаниями.
Сечения куба со стороны ребра и вершины помогают понять форму трехмерного сечения гиперкуба при срезах параллельно ребру. Последовательность трехмерных срезов будет линией, треугольной призмой, затем шестиугольной призмой и правильной шестиугольной призмой. Затем эти фигуры будут повторяться в обратном порядке.
Наиболее интересный случай, как и в примере с кубом, — это сечения гиперкуба, начиная с его вершины. Последовательность сечений представляет собой точку, тетраэдр, усеченный тетраэдр, икосаэдр, снова усеченный тетраэдр, тетраэдр и опять точку.
Развертка гиперкуба
Другим методом визуализации гиперкуба является изучение его развертки в трехмерном пространстве. В нашем трехмерном пространстве обычная коробка образована внешней частью куба — его квадратными гранями. Если открыть одну из них, как крышку, мы получим внутреннюю часть куба — пространство для хранения вещей. Во Флатландии, например, коробки представляли собой квадраты, а гранями таких коробок были стороны квадрата, одна из которых являлась крышкой, с помощью которой флатландцы открывали и закрывали коробку, используя внутреннее двумерное пространство для хранения вещей. Гиперкоробкой будет являться внешняя часть гиперкуба, образованная трехмерными кубическими гранями, одна из которых будет использоваться как крышка, и гиперсущества смогут хранить в четырехмерном внутреннем пространстве гиперкоробки свои вещи.
Если развернуть квадрат, или куб, или гиперкуб, мы получим их внешнюю часть: для квадрата — отрезки, для куба — квадраты, для гиперкуба — кубы, то есть фигуры на одну размерность меньше. Следовательно, мы можем развернуть их в пространстве меньшей размерности. Коробка из Флатландии — квадрат — может быть развернута в Лайнландии, и ее сможет увидеть король Лайнландии, чтобы понять, что такое квадрат. Наша обычная кубическая коробка может быть развернута на плоскости. Таким образом флатландцы могут попытаться понять форму куба. И, наконец, мы можем развернуть гиперкоробку в нашем трехмерном пространстве и лучше понять, что такое гиперкуб. На следующих рисунках изображены развертки в каждом описанном случае.
Давайте представим, как Квадрат — житель Флатландии — развернул одну из своих коробок в Лайнландии. Для этого он сначала открыл крышку коробки (если у нее не было крышки, то две из ее сторон нужно отделить друг от друга в вершине), а затем развернул ее в прямую линию. В конечном итоге он получил четыре равных отрезка, расположенных на одной линии, то есть в Лайнландии.
Теперь рассмотрим хорошо нам знакомую развертку кубической коробки. Как обычно, сначала мы откроем крышку. Если крышки нет, то одну из граней надо отделить от других, разрезав по трем ребрам. Когда крышка открыта, отделим друг от друга четыре боковых грани, разрезав коробку по четырем соединяющим их ребрам. После этого кубическая коробка может быть разложена на столе, образовав так называемую развертку куба, как показано на рисунке, хотя возможны и другие развертки.
* * *
ГЕКСАМИНО
Плоские фигуры, образованные путем соединения шести квадратов ребро к ребру (квадраты не могут касаться только вершинами), называются гексамино. Примером такой фигуры является развертка кубической коробки. Рассмотрим интересную задачу: сколько существует различных таких фигур? Их количество, конечно, зависит от числа квадратов. В общем случае полимино, или n-мино, образовано из n квадратов. Существует одно-единственное домино (n — 2). Добавив один квадрат, мы можем построить два тримино (n — 3). С еще одним квадратом мы получим пять тетрамино. Именно эти фигуры, кстати, используются в игрететрис. Существует 12 пентамино, которые также появляются в интересных играх. Наконец, добавив еще один квадрат к 12 пентамино, мы получим 35 гексамино. Но какие из них являются развертками куба? Попробуйте сами ответить на этот вопрос!
35 возможных гексамино, но лишь 11 из них являются развертками куба.
* * *
Теперь, используя аналогии для случаев меньших размерностей, мы попробуем получить развертку гиперкуба. Как и раньше, мы откроем крышку гиперкоробки — верхнюю кубическую грань, соединенную с шестью другими гранями. Для этого мы должны отсоединить кубическую крышку от пяти граней гиперкуба, разрезав по пяти квадратам. Теперь гиперкуб открыт, но мы должны сделать дополнительные разрезы, чтобы развернуть его. Нужно разрезать по квадратам, которые соединяют те шесть кубов, что прилегали к крышке (таких разрезов будет восемь). Таким образом мы получили гиперкуб, развернутый в нашем трехмерном пространстве.
Каждый из подходов для представления гиперкуба в трехмерном пространстве дает нам часть информации о четырехмерном объекте, но скрывает другую часть информации и даже искажает ее. Например, проекции искажают форму гиперкуба, но сохраняют информацию о пространственных соотношениях элементов гиперкуба друг с другом в четвертом измерении. Сечения дают очень мало информации, так как показывают очень небольшую часть объекта, но зато без искажений, а последовательность нескольких сечений также несет в себе полезную информацию о внутренней структуре гиперкуба. Развертки показывают нам без искажений элементы гиперкуба, но мы теряем информацию о четырехмерных соотношениях элементов и изначальной форме гиперкуба.
Пространственно-временной континуум
Этот раздел, посвященный статическому пространству-времени, вроде бы не имеет ничего общего с визуализацией четвертого измерения. Однако в XIX в., когда время рассматривалось в качестве возможного четвертого измерения, этот подход также использовался для получения мысленных образов четырехмерных объектов.
Время (или движение как локальный вариант времени) являлось еще одним измерением, дополнительным к трем пространственным.
Теперь мы снова вернемся к двумерным аналогиям Флатландии для того, чтобы лучше понять, что такое пространственно-временной континуум. Хинтон сравнил его с книгой, страницами которой являются моменты времени, идущие не по порядку.
В этом случае пространственно-временной континуум будет трехмерным, пространственная часть которого является двумерным пространством, Флатландией, а время — еще одним измерением, перпендикулярным к ней. Чтобы лучше понять это, представим себе такую картину: Квадрат подходит к своему сыну Пятиугольнику, чтобы поговорить с ним, а затем снова уходит. В пространственно-временном континууме мы бы наблюдали два сближающихся, а затем удаляющихся стержня: один с пятиугольным сечением, а другой — с квадратным. Каждый момент времени этой сцены во Флатландии является двумерным сечением пространства-времени, которое, соответственно, представляет собой последовательность разных моментов времени — как пленка, состоящая из последовательности кинокадров.
Аналогично наше статическое пространство-время представляет собой четырехмерное пространство с тремя пространственными измерениями и одним временным.
Каждый момент времени является трехмерным сечением пространственно-временного континуума. В этом четырехмерном пространстве мы выглядим как стержни, конечные во времени. Статическое пространство-время объединяет в себе прошлое, настоящее и будущее, но почему тогда нельзя увидеть прошлое или будущее, если они, конечно, существуют? Более того, почему мы воспринимаем время как текущее вперед? Некоторые считают, что это свойство нашей вселенной и это надо принять как данность. Например, в своей статье «Миф о течении времени» физик Дэвид Парк писал: «… все события нашей жизни и нашей истории существуют одновременно, а иллюзия течения времени является свойством нашей вселенной, которое можно наблюдать, но нельзя объяснить…» Другие думают, что течение времени — это нечто субъективное, происходящее в нашем сознании, и что можно достичь определенного психического состояния, при котором мы можем изменить местоположение нашего сознания в пространстве-времени. Правда, приверженцев этой идеи не так уж и много.
