Обложка первого издания «Введения в анализ бесконечно малых» Эйлера, опубликованного в 1748 году.
* * *
Краткое описание бесконечно малых величин в соответствии с тем, как их представлял Эйлер, может звучать так: бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является строго равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она является бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить выражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной, когда мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если N — бесконечно большая величина, то выполняется достаточно необычное равенство: N + 1 = N. А бесконечно малое число w — это число, не равное нулю, однако сколько бы мы ни складывали его с самим собой, полученная сумма не будет больше 1, 1/2 или любого другого положительного числа. Чтобы получить 1 из бесконечно малого числа w, потребуется бесконечно большое число N: N·w = 1.
«Будет непросто найти в истории математики другой труд, который оставлял бы у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот», — писал Эрнест Уильям Хобсон о «Введении в анализ бесконечно малых». Возможно, с Хобсоном согласится любой, кто прочел книгу Эйлера. Такое восприятие вызвано тем, что «Введение в анализ бесконечно малых» обладает огромной способностью вызывать эмоции. Гениальный Эйлер создал текст, преисполненный красоты, который оказывает неизгладимое впечатление на всех, кто его читает.
Как мы уже говорили, Эйлер в своей книге работает с бесконечно малыми величинами интуитивно понятным образом — именно в этом и заключается его гениальность. Бесконечно малые величины опасны, и небрежная работа с ними может закончиться катастрофой. Для греков бесконечность была сродни ужасному чудовищу, от которого следовало спасаться бегством. Эйлер не сбежал: напротив, он приблизился к чудовищу, потрепал его за холку и надел на него ярмо, чтобы вспахать доселе бесплодную землю. В руках Эйлера бесконечность оказалась удивительно податливой. А учитывая, какой страх внушала она всем математикам, эта податливость потрясает до дрожи. Именно в этой способности потрясать до дрожи и заключается эстетическая ценность труда Эйлера. Немецкий философ Теодор Адорно утверждал, что эстетическая ценность объекта заключается именно в его способности вызывать потрясение и в некотором роде испуг. Эта идея прозвучала на знаменитой конференции под названием «Красота занятий математикой», которую для всех желающих провел Серж Ланг в парижском Дворце открытий в начале 1980-х. Ланг говорил о «дрожи в позвоночнике», которую вызывают красивейшие математические рассуждения.
Философ Иммануил Кант (1724–1804) был представителем нового поколения. Он родился и прожил почти всю жизнь в Кёнигсберге (ныне Калининград). Эйлер тоже имел отношение к Кёнигсбергу, хотя никогда не жил в этом городе: он родился в Базеле, занимался математикой в Санкт-Петербурге и Берлине. Однако именно Эйлер решил знаменитую задачу о семи мостах Кёнигсберга. В XVIII веке в городе было семь мостов, соединявших его части с островами на реке Прегель. Жители Кёнигсберга хотели узнать, можно ли обойти все мосты, не проходя ни по одному из них дважды. Эйлер путем простых, но очень наглядных рассуждений, которые позднее дали начало теории графов, показал, что искомого пути не существует.
Портрет Иммануила Канта (1724–1804), одного из ведущих философов в истории человечества.
Учитывая, какое определение Кант дает возвышенному, не будет преувеличением сказать, что источником его вдохновения могли стать рассуждения о бесконечно малых величинах, принадлежавшие Эйлеру или любому другому математику XVIII столетия, хотя Эйлер выразил силу бесконечно малых лучше остальных. «Возвышенно то, — писал Кант в «Критике способности суждения», — в сравнении с чем все остальное мало… Возвышенно то, одна возможность мыслить которое доказывает способность души, превосходящую любой масштаб чувств. Представляя возвышенное в природе, душа ощущает себя взволнованной, тогда как при эстетическом суждении о прекрасном она находится в состоянии спокойного созерцания. Эту взволнованность можно (особенно в ее первые минуты) сравнить с потрясением, то есть быстро сменяющимся отталкиванием и притяжением одного и того же объекта»[12].
Характеристики «в сравнении с чем все остальное мало» и «превосходит любой масштаб чувств», которые использует Кант в своем толковании возвышенного, есть не что иное, как выражение противоречащей здравому смыслу формулы N + 1 = N, описывающей свойство бесконечно больших величин. Эту формулу Эйлер не раз использовал в своем «Введении в анализ бесконечно малых». И это «волнение души» возникает в сердце математика тогда, когда он видит формулу N + 1 = N или замечает в знаменателе дроби величину, которая спустя две строки исчезает, обращаясь в ноль.
С другой стороны, кантовское «волнение» — это чувство, которое мы испытываем, когда видим, каких результатов добился Эйлер, применив удивительные свойства бесконечно малых величин. Читая рассуждения Эйлера, мы неизменно чувствуем «потрясение, то есть быстро сменяющееся отталкивание и притяжение одного и того же объекта», точнее, главных героев его книги — бесконечно малых величин.
Очарование географических открытий
Рассуждения Эйлера известны тем, что не отличаются особой логической строгостью. Поэтому в XIX веке математики решили заменить бесконечно большие и бесконечно малые величины понятием предела. Математические выкладки Эйлера не слишком точны. Однако это лишь первое впечатление: сегодня нам известно, что анализ, в котором используются бесконечно малые, столь же строг, как и современные рассуждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми производятся стандартные арифметические операции. Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».
Математик Абрахам Робинсон (1918–1974), автор нестандартного анализа.
Не думаю, что Эйлеру не давала спать избыточная или недостаточная строгость его рассуждений. Самого Эйлера, как и Декарта, Ньютона и Лейбница, волновали открытия, а не доказательства. Это особенно ярко звучит в предисловии к «Введению в анализ бесконечно малых», где постоянно встречаются слова «вникнуть в суть», «решить», «изобрести», а вот «показать» или «доказать» не упоминаются вовсе.
«Введение в анализ бесконечно малых» построено так, что новые идеи предстают перед нами подобно тому, как перед глазами изумленных первооткрывателей эпохи Возрождения представали чудеса природы. Эта книга не имеет ничего общего со скучнейшими логическими рассуждениями, которыми изобилуют современные работы по математике. Чтение «Введения в анализ бесконечно малых» подобно исследованию неизвестных уголков Земли. Эта книга напоминает мне заметки Антонио Пигафетта о кругосветном путешествии Магеллана и рассказы Хуана Себастьяна Элькано, который возглавил экспедицию после смерти Магеллана. Эйлер не умалчивает о бесплодных, но наглядных попытках решить те или иные задачи, подобно тому, как Пигафетта повествует о тщетных попытках Магеллана найти путь из Атлантического океана в Тихий.
«Введение в анализ бесконечно малых» — это рассказ о первом путешествии в мир бесконечно малых величин. Эйлеру удалось вызвать у читателей то же головокружительное чувство, которое мы испытываем, читая о первом кругосветном путешествии. Это еще одна причина познакомиться с «Введением в анализ бесконечно малых» — возможно, эта книга лучше других поможет понять гениальность математического творчества и почувствовать математическую красоту.
В конце введения к своей знаменитой «Истории искусства» Эрнст Гомбрих отстаивает такую точку зрения: историю искусства следует знать потому, что она помогает понять, почему художники действовали так, а не иначе, или стремились произвести определенный эффект. Знание истории искусства, пишет Гомбрих, позволяет нам улавливать тончайшие различия и ценить эстетику произведений искусства. Иными словами, должный культурный багаж помогает увидеть красоту того или иного жанра, а знание истории искусства — неотъемлемая часть этого багажа. Гомбриха можно назвать сторонником контекстуализма, в рамках которого считается, что произведение искусства следует рассматривать в контексте — историческом, социальном, религиозном, культурном и других, в отличие от изоляционизма, утверждающего, что произведение искусства должно быть самодостаточным. Чем больше знаний контекста требуется, чтобы оценить его, тем менее полным оно является, поэтому изоляционисты, следуя Клайву Беллу, отказывались изучать контекст произведений.
