Конечно, в твоей школе тоже есть положительные и отрицательные Нулики. Но это ведь совсем другое дело. Просто одни из них хорошие, а другие — плохие.
Второй твой вопрос — о Великанах — очень интересный. Но ответил на него не автомат, а мама-Двойка. Она говорит, что ты любознательный ребёнок.
Оба конца монорельсовой дороги и вправду ведут в Бесконечность. А в Бесконечности, понятно, живут числа — Великаны. Бесконечность тоже бывает положительная и отрицательная. Только там свои, особые законы. Положительные и отрицательные Великаны прекрасно уживаются. Но как это им удаётся, мы не узнали. Это как раз один из тех вопросов, на которые мама-Двойка отвечает: «Всякому овощу своё время».
А теперь танцуй! Мы научились умножать и делить отрицательные числа.
Ты ведь знаешь, что умножение можно рассматривать как сложение.
Умножить два на три — всё равно что сложить три двойки:
То же самое происходит, когда отрицательное число умножают на положительное. Разве умножить минус два на плюс три — это не то же самое, что сложить три отрицательные двойки? А так как при сложении отрицательных чисел вагончики двигаются влево от Нулевой станции, то и произведение будет отрицательное — минус шесть:
— Ну, а если умножить минус три на плюс два? — спросил Сева. — Тогда что? — Какая же разница? — сказала мама-Двойка. — Как было минус шесть, так и останется минус шесть. Вот смотрите:
— Ясно! — кивнул Сева. — Пусть себе множители меняются знаками сколько хотят, произведение всё равно остаётся то же. Оно всегда будет отрицательным, если мы перемножаем два числа с разными знаками. — Сева важно посмотрел на всех. Он был страшно собой доволен. — Все поняли? Тогда поехали дальше. Выясним теперь, что получится, если оба множителя отрицательные?
— Ну что ж, выясняйте, — сказала мама-Двойка, — мы с удовольствием вас послушаем.
— Вы меня не поняли, — смутился Сева. — Это я вас собирался послушать.
— Ах вот оно что! Тогда другое дело.
Всем нам стало неловко за Севу. Мы подумали, что мама-Двойка обиделась, но она посмотрела на нас смеющимися глазами и продолжала:
— Вы хотели знать, что происходит при перемножении двух отрицательных чисел? Нетрудно догадаться. Чтобы умножить любое число на положительное, надо отложить его на монорельсе в ту же сторону от Нулевой станции, с какой оно находится. Это мы только что видели.
Когда же мы умножаем любое число на отрицательное, всё происходит наоборот. Вы ведь знаете, какие упрямцы эти отрицательные числа! Поэтому умножаемое откладывается не с той стороны, где оно находится, а по другую сторону от нуля:
Теперь нетрудно понять, что получится при умножении отрицательного числа на отрицательное; в этом случае умножаемое надо откладывать вправо от нуля:
— Вот те раз! — Брови у Севы стали прямо как два вопросительных знака. — Отрицательное число, умноженное на отрицательное, становится положительным?! Чудеса!
— Такие чудеса случаются у нас в Аль-Джебре на каждом шагу, — ответила мама-Двойка.
— Ну, если так, расскажите нам поскорее про деление. Там, наверное, будут какие-нибудь новые чудеса?
— Ничуть не бывало. Деление — действие, обратное умножению. Стало быть, и правила знаков не меняются:
Мы почувствовали себя ужасно образованными. А пуще всех — Сева.
— Теперь нам всё нипочём! — заявил он. — Мы знаем эту дорогу как свои пять пальцев!
— Ошибаетесь, — сказала мама-Двойка, — вы познакомились только с целыми числами.
— А разве здесь есть и другие?
— А как же!
— Вы, наверное, подразумеваете дробные числа, — предположил Олег.
— Не только. Дробные числа — это те, что расположены между целыми числами. — Мама-Двойка указала на палочки ограды, которые мы недавно пересчитывали. — Здесь расстояние между двумя целыми числами разделено на десять равных частей. Каждая из них составляет одну десятую единицы. Но ведь этих делений может быть и гораздо больше. Мысленно мы можем разделить это расстояние на любое число частей.
— Значит, вагончик может останавливаться не только у целого числа, но и у любой дроби, то есть между станциями?
— Ну конечно! В любом месте, по первому требованию!
Мы тут же вызвали вагончик и заставили его остановиться сперва против числа 2,5 а потом против 3,44… Этого нам показалось мало. Мы назвали число минус пять и четыре миллионных: −5,000 004, и красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превратился в синий и остановился на волосок дальше станции минус 5.
— Выходит, — неуверенно сказал Сева, — вся эта бесконечная дорога сплошь заполнена числами?
— Именно сплошь! — ответила мама-Двойка. — Можно сказать, непрерывно. У нас очень большая плотность населения. На всём пути не сыскать ни одной точечки, не заселённой каким-нибудь числом. Есть среди этих чисел и такие, величину которых мы никогда не можем вычислить точно.
— Что ж это за число, которое нельзя вычислить?
— Ну хотя бы корень квадратный из двух:
Попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат давало бы два.
Сева наморщил лоб, подумал немного, потом махнул рукой и засмеялся:
— И много таких чисел?
— Бесконечное множество. Их называют иррациональными в отличие от рациональных. Латинское слово «рацио» значит «разум». Следовательно, рациональные числа — это разумные числа, то есть числа, постижимые разумом.
Сева прямо задохнулся от смеха:
— Ой, умираю! Рациональные — значит разумные. А иррациональные — безумные, что ли?
— Ну зачем же так! — обиделась мама-Двойка. — Просто они не поддаются точному вычислению. Поэтому их долгое время не признавали числами. Но с тех пор как у нас появилась воздушная монорельсовая дорога (или числовая прямая — так её называют по-другому), иррациональные числа после долгих скитаний получили, наконец, точный адрес. Вычислить их по-прежнему можно только приближённо. Зато легко указать место на монорельсовой дороге, где они живут. Вместе с числами рациональными они образуют дружную семью действительных чисел, — закончила мама-Двойка и снова заставила нас удивиться.
— А разве бывают и недействительные?
— Конечно. Есть числа мнимые, есть комплексные.
Сева не дал ей договорить.
— Вспомнил! — заорал он. — И Мнимая Единица на что-нибудь да годится!
— Да, да, — подтвердила я, — так ответил автомат маленькой буковке с зонтиком: i.
— Оно и понятно, — сказала мама-Двойка, — латинской буквой i (по-русски — И) в Аль-Джебре обозначается Мнимая Единица.
— Но почему мнимая? Она что, воображаемая?
— Настолько воображаемая, что ей, как и другим мнимым числам, не нашлось местечка на всей бесконечной монорельсовой дороге.
— Так вот почему она была такая грустная! — смекнул Сева.
— А где же тогда живут мнимые числа? — спросил Олег.
— Всякому овощу своё время.
Пришлось спрятать любопытство в карман. Мы распрощались с мамой-Двойкой и пошли… Куда бы ты думал? Конечно, в Парк Науки и Отдыха.
Как мы там отдыхали, узнаешь из следующего письма.
Таня.
(Сева — Нулику)
Здравствуй, старик! Не удивляйся, что вместо Олега пишу тебе я. Мне так захотелось самому рассказать, как я здорово отличился, что он уступил мне свою очередь.
Говорят, великие люди занимались физическим трудом и спортом. Лев Толстой косил траву, шил сапоги. Учёный Павлов играл в городки. А я решил стать молотобойцем.
Здесь, в парке, есть занятный аттракцион — силомер. Такие встречаются и у нас, но этот устроен немного по-другому.
У нас ударяешь молотом по наковальне, и гирька подскакивает верх. Чем сильнее ударишь, тем выше она поднимется. На таком силомере меряются силами. На здешнем — знаниями.
Рейка, вдоль которой движется гиря, очень похожа на монорельсовую дорогу. Только числовая прямая здесь расположена по-другому: не длину, а в вышину. И числа на ней, начиная с нуля, только положительные. На этом силомере возводят числа в степень.
Задумываешь число, возводишь в уме в какую-нибудь степень, а потом, чтобы проверить себя, бьёшь молотком по наковальне. Гирька долетает до вычисленной степени. Если ты возвёл правильно, у этого числа зажигается зелёный огонёк, ошибся — красный.
Первый удар предоставили Тане. Ничего не поделаешь: девочка! Она возвела два в третью степень. У неё получилось восемь. Таня стукнула молотком, гирька взлетела к восьмёрке, и зажглась зелёная лампочка.
