В своей «Геометрике» Герон говорит о сложении площади круга, длины окружности и диаметра. Разумеется, под этим он понимает сложение численных значений этих величин. Говоря об умножении квадрата на квадрат, Герон также имеет в виду вычисление произведения тех чисел, которыми выражаются площади квадратов. Тем самым Герон как бы осуществил перевод многого из того, что достигла геометрическая алгебра древних греков, на язык арифметических и алгебраических операций. Некоторые из задач, рассмотренных Героном и его ближайшими последователями, в точности совпадают с задачами, встречающимися в вавилонских и египетских текстах за 2000 лет до н.э. Следует подчеркнуть, что свои алгебраические работы греки излагали в описательной манере. Ни к какой символике они не прибегали. Не приводили они и доказательств правильности используемых приемов. Со времен Герона задачи, приводящие к уравнениям, стали довольно распространенным типом головоломок.
В александрийский период алгебра достигла своего наивысшего расцвета в трудах Диофанта. О происхождении и жизни этого ученого почти ничего не известно. К сожалению, труды Диофанта, намного превосходившие по глубине и значимости сочинения его современников, появились слишком поздно, чтобы оказать сколько-нибудь заметное влияние на развитие математики того времени; разрушительная волна (гл. II) уже надвигалась, погребая под собой греческую цивилизацию. Несколько книг, написанных Диофантом, безвозвратно утеряно, однако шесть частей величайшего сочинения Диофанта «Арифметика», содержавшего, по утверждению самого автора, всего тринадцать частей, дошли до нашего времени [34]. Подобно египетскому папирусу Ринда, «Арифметика» Диофанта представляет собой сборник разрозненных задач. В посвящении говорится, что «Арифметика» задумана как серия задач, призванных помочь одному из учеников Диофанта овладеть различными видами чисел (Диофант [34], с. 41).
Одной из значительных заслуг Диофанта является введение в алгебру некоторой символики. Поскольку мы располагаем не подлинными рукописями самого Диофанта, а лишь поздними (датируемыми не ранее чем XIII в.) копиями, трудно говорить с уверенностью, какими именно символами пользовался сам Диофант. Известно лишь, что он ввел символы, соответствующие нашим обозначениям x,степеням неизвестного xвплоть до x 6и 1/x.Появление такой символики замечательно само по себе, но еще больший интерес представляет введение степеней выше третьей, поскольку, как мы уже отмечали, греки классического периода игнорировали произведения более чем трех сомножителей, так как считали их не имеющими геометрического смысла. Но если подходить к умножению с чисто арифметических позиций, то произведения более трех сомножителей, разумеется, становятся вполне законными. Именно такой подход к произведениям трех и более чисел был избран Диофантом.
Свои решения Диофант излагал словесно — так, как мы пишем прозу. Все необходимые действия он производил исключительно арифметически, не прибегая к геометрии для иллюстрации или в подтверждение своих рассуждений. Произведение (x − 1)(x − 2)Диофант вычислял чисто алгебраически, как это делаем мы. Использовал он и алгебраические тождества, например равенство a 2− b 2 = (а − b)(a + b)и более сложные. Строго говоря, в своих вычислениях Диофант выполнял действия, основанные на использовании алгебраических тождеств, хотя сами тождества в явном виде у него не встречались.
Алгебра Диофанта обладала еще одной особенностью: Диофант охотно решал неопределенные уравнения, например одно уравнение с двумя неизвестными. Такие уравнения математики рассматривали и до Диофанта. Так, пифагорейцы нашли целочисленные решения уравнения {66} x 2+ y 2= z 2.Аналогичные уравнения рассматривались и в других сочинениях. Но Диофант был первым, кто предпринял систематические и обширные исследования неопределенных уравнений, став тем самым основателем нового раздела алгебры, называемого ныне диофантовым анализом. {67}
Хотя применение алгебры снискало Диофанту широкую известность, нельзя не отметить, что он признавал только положительные рациональные корни и отбрасывал все остальные. Даже при решении квадратного уравнения с одним неизвестным, имеющего два положительных рациональных корня, Диофант приводил только один (больший) корень. Если же уравнение имело два отрицательных корня, иррациональные или комплексные, то Диофант отвергал такое уравнение, считая его неразрешимым. Если уравнение, имело иррациональные корни, то Диофант шаг за шагом, от конца к началу, прослеживал полученное решение и показывал, как изменить исходное уравнение, чтобы новое уравнение имело рациональные корни. В этом Диофант отличался от Герона и Архимеда. Герон был инженером, и возникавшие в его расчетах иррациональные числа не пугали его. Для Герона иррациональные величины были вполне приемлемыми, хотя он, разумеется, и заменял их рациональными приближениями. Архимед также стремился получить точные решения и, если ответы выражались иррациональными числами, указывал границы, в которых те были заключены.
Нам не известно доподлинно, как Диофант пришел к своим уравнениям (см. [34]). Поскольку Диофант не пользовался геометрией, маловероятно, что он лишь переложил методы Евклида, приспособив их к решению квадратных уравнений. К тому же у Евклида не встречаются неопределенные уравнения: Диофант был первым из математиков, занявшихся систематическим исследованием таких уравнений. Мы не знаем, существовала ли преемственность в науке в конце александрийского периода, и поэтому нам трудно установить, в какой мере сказались на работах Диофанта идеи его древнегреческих предшественников. Использованные Диофантом методы решения уравнений имеют гораздо больше общего с традициями вавилонской математики. Ее влияние на Диофанта косвенно подтверждается и другими фактами. Однако алгебра Диофанта существенно отличается от вавилонской: Диофант ввел символику и стал систематически решать неопределенные уравнения. В целом деятельность Диофанта стала заметной вехой в истории алгебры.
Работы Герона и Диофанта, Архимеда и Птолемея по различным вопросам арифметики и алгебры не отличались по своему стилю от «рецептурных» текстов египтян и вавилонян, содержавших четкие указания относительно того, что и в какой последовательности следует делать. Дедуктивные, проводимые «по всей форме» доказательства геометрии Евклида, Аполлония и Архимеда были здесь преданы забвению. Все проблемы рассматривались индуктивно: автор указывал способ решения конкретной задачи, предположительно пригодный для решения более широкого круга задач, границы которого были нечетки. Нужно ли говорить, что при этом различные типы чисел (целые числа, дроби, иррациональные числа) вообще не определялись, если не считать маловразумительных определений целых чисел, предложенных Евклидом. Не существовало и аксиоматической основы, на которой можно было бы построить дедуктивную систему, пригодную для решения арифметических и алгебраических проблем.
Таким образом, греки завещали потомкам две совершенно различные математические науки: с одной стороны — дедуктивную, систематически развитую и излагаемую, хотя и не свободную от ошибок, геометрию, с другой — эмпирическую арифметику и алгебру как ее обобщение. Поскольку, согласно представлениям греческих мыслителей классического периода, математические результаты должны были выводиться дедуктивно и базироваться на явно заданной аксиоматической основе, возникновение независимых арифметики и алгебры, не обладающих собственной логической структурой, привело к одной из величайших аномалий в истории математики.
Индийцы и арабы, подхватившие эстафету развития математики после окончательного уничтожения арабами эллинистической (александрийской) греческой цивилизации, в еще большей мере нарушили концепцию математики, сложившуюся у греков классического периода. Подобно своим предшественникам — грекам, индийские и арабские математики использовали целые числа и дроби, но они, не колеблясь, оперировали и иррациональными числами. Именно они ввели новые, верные, правила сложения, вычитания, умножения и деления иррациональных чисел. Как же индийцам и арабам удалось придумать правила, лишенные логического обоснования и тем не менее оказавшиеся верными? Загадка решается довольно просто: индийцы и арабы рассуждали по аналогии. Так, правило √ab = √a∙√bони считали верным для любых чисел aи b,поскольку оно выполнялось, например, в случае √36 = √4∙√9 .Фактически индийцы считали, не оговаривая этого специально, что с квадратными корнями из целых чисел можно обращаться так же, как с целыми числами.
