Индийцы были менее изощренными математиками, чем греки, и не видели, какие логические трудности таятся в понятии иррационального числа. Интересуясь «рецептурной», или алгоритмической, стороной вычислений, индийцы не заметили те различия, которым греки придавали столь большое значение. Но производя сложение и вычитание, умножение и деление иррациональных чисел по таким же правилам, по каким производятся арифметические операции над рациональными числами, индийцы внесли посильный вклад в развитие математики. Кроме того, вся их арифметика была полностью независимой от геометрии.
Введя в обращение отрицательные числа для обозначения денежных долгов, или пассива, индийцы преумножили и без того многочисленные логические трудности математиков (положительные числа при таком подходе должны означать наличность, или актив). Первым ввел отрицательные числа Брахмагупта (около 628 г.), но он лишь сформулировал правила четырех арифметических действий над отрицательными числами, не приведя никаких определений, аксиом или теорем. Выдающийся индийский математик XII в. Бхаскара обратил внимание на то, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное. Бхаскара рассмотрел также вопрос о квадратном корне из отрицательныхчисел и пришел к выводу, что такой корень не существует, так как иначе его квадрат должен был бы быть отрицательным числом, а отрицательное число не может быть квадратом.
Далеко не все индийцы восприняли нововведение Бхаскары. Даже сам Бхаскара, приводя в качестве решений одной задачи два числа (50 и −50), утверждал: «Второе значение следует отбросить как неприемлемое, ибо люди не одобряют отрицательных решений». Тем не менее отрицательные числа вскоре после того, как они были введены, начали распространяться все шире.
Индийцам удалось достичь некоторых успехов и в алгебре. Для описания операций и неизвестных они ввели сокращенные слова и специальные символы, И хотя символика индийцев не была всеобъемлющей, их алгебра обладала определенными преимуществами по сравнению с алгеброй Диофанта. Решая задачу, индийцы указывали только основные этапы решения, не приводя никаких обоснований или доказательств. Отрицательные и иррациональные корни квадратных уравнений индийцы рассматривали наряду с положительными и рациональными корнями.
В действительности индийцы обращались с алгеброй еще более свободно, чем мы здесь говорили. Например, из тригонометрии известно, что sin 2 α +cos 2 α = 1при любом угле α. Для Птолемея, одного из создателей тригонометрии и автора ее первого систематического изложения, это соотношение было геометрическим утверждением о соотношении между длинами хорд в окружности. Хотя, как мы отмечали, Птолемей свободно пользовался арифметикой, выражая неизвестные длины через известные, он в основном опирался на геометрию и приводимые им аргументы были геометрическими. Индийцы же оперировали с тригонометрическими отношениями, по существу, так, как мы сейчас, — для них это были просто числа. Вычисляя cos αпо известному sin α, они свободно использовали соотношение sin 2 α +cos 2 α = 1, применяя затем простейшие преобразования своих формул. Таким образом, при выводе и записи соотношений между синусами и косинусами углов индийская тригонометрия полагалась не столько на геометрию, сколько на алгебру.
Мы видим, что арифметика и вычислительные возможности математики интересовали индийцев несравненно больше, чем дедуктивные схемы рассуждений, и что основной вклад они внесли именно в развитие арифметики и разработку практических приемов вычислений. Математику индийцы называли ганита,что означает «наука о вычислениях». Они предложили немало удобных методов вычислений и усовершенствовали известные ранее приемы счета, но, судя по всему, совсем не рассматривали доказательств. Индийцы пользовались определенными математическими правилами, не задумываясь над логической обоснованностью своих действий. Ни одну область математики индийцы не обогатили ни общими методами, ни радикально новыми идеями.
Можно с уверенностью сказать, что индийцы не сознавали значимости собственного вклада в развитие математики. Те немногие удачные идеи, которые они внесли в математику (введение особых символов для обозначения чисел от 1 до 9; переход от позиционной системы записи чисел с основанием 60 к десятеричной системе; введение отрицательных чисел и признание нуля полноправным числом), возникали случайно, и, судя по всему, индийские математики не понимали истинной значимости таких нововведений. Индийцы с полным безразличием относились к математической строгости. Выдвигаемые ими тонкие идеи они с поразительным равнодушием смешивали с грубыми соображениями египтян и вавилонян. Среднеазиатский ученый-энциклопедист аль-Бируни (973 — около 1050) писал об индийцах:
Я могу сравнить то, что содержится в их книгах по арифметике и другим математическим наукам, только с перламутром, смешанным с незрелыми финиками, или с жемчужинами вперемешку с навозом, или с кристаллами, перемешанными с камешками. Обе части имеют для них равную ценность, поскольку у них нет примера восхождения к вершинам логического познания.
([35], с. 69.)
Так как индийцы питали особую склонность к арифметике и внесли основной вклад в развитие арифметики и алгебры, их деятельность привела к расширению той части математики, которая опиралась на эмпирическую и интуитивную основу.
В то время как индийцы практически игнорировали дедуктивную геометрию, арабы предприняли критическое изучение геометрических работ древних греков и по достоинству оценили роль дедуктивного доказательства в становлении геометрии. Однако в отношении к арифметике и алгебре, которым в арабской математической литературе отводилась более значительная роль, чем геометрии, арабы фактически мало чем отличались от индийцев. Арабов, как и их индийских предшественников, устраивало рассмотрение арифметики и алгебры на эмпирической, конкретной и интуитивной основе. Правда, некоторые арабские математики приводили геометрические соображения в обоснование решения квадратных уравнений, но в целом подход к решению и методология у арабов в отличие от греков классического периода по существу были алгебраическими. Кубические уравнения, например уравнение x 3+ 3x 2+ 7x − 5 = 0,арабы решали, используя только геометрические построения, так как алгебраический метод решения таких уравнений еще не был открыт. Но их геометрические построения было бы невозможно выполнить с помощью циркуля и линейки, а доводы, приводимые в обоснование построений, не имели строго дедуктивного характера. На протяжении всех столетий, пока арабы активно занимались математикой, в своих оригинальных работах они мужественно сопротивлялись соблазнам точного рассуждения.
Наиболее интересной особенностью математики индийцев и арабов является их внутренне противоречивое представление о предмете математического исследования. То, что египтяне и вавилоняне были склонны воспринимать немногие известные им арифметические и геометрические правила на эмпирической основе, само по себе не удивительно. Эмпирическая основа естественна почти для всех видов человеческого знания. Но индийцам и арабам было известно совершенно новое понятие математического доказательства, доставшееся им в наследство от греков. Однако они не позаботились о том, чтобы применить понятие дедуктивного доказательства в арифметике и алгебре. Отношение индийцев к математике можно в какой-то степени объяснить. Индийцы не придавали особого значения тем немногим достижениям греческой математики классического периода, которые были им известны, и следовали в основном александрийскому подходу к арифметике и алгебре. Но арабы были хорошо осведомлены о греческой геометрии и даже, как упоминалось, предприняли попытку критического пересмотра результатов своих предшественников. Кроме того, на протяжении нескольких веков и арабы, и индийцы находились в благоприятных для занятий чистой наукой условиях — и ничто не вынуждало математиков жертвовать доказательством ради немедленной практической отдачи. Как могло случиться, что два эти народа подошли к развитию двух областей математики совершенно иначе, чем греки классического периода и многие из александрийцев?
