* * *
Создатели этой книги благодарны всем тем, кто оказал им помощь — критикой и советами — при окончательной отработке ее содержания. Они выражают особую признательность Д.П.Горскому Б. А. Кушнеру и Г. И. Сыркину, чьи рекомендации особенно содействовали улучшению текста.
Оба автора совместно работали над рукописью и несут за книгу солидарную ответственность. Правда, имеется одно исключение: первую часть названия книги — «Жар холодных числ» (из стихотворения А. Блока «Скифы») предложил В. Н. Тростников, а Б. В. Бирюков добавил вторую —«и пафос бесстрастной логики» (уже не из Блока...).
Борис Владимирович БИРЮКОВ, Виктор Николаевич ТРОСТНИКОВ
ЖАР ХОЛОДНЫХ ЧИСЛ И ПАФОС БЕССТРАСТНОЙ ЛОГИКИ
Редактор С. Столпник. Художник Р. Варшамов. Худож. редактор М. Гусева. Техн. редактор А. Красавина. Корректор Н. Мелешкина.
Цена 35 коп.
* Э. Николау. Введение в кибернетику. С добавлениями автора русскому изданию. Перев. с румынского. М., 1967, с. 11.
* Материалы XXV съезда КПСС. М., 1976, с. 170.
** Там же, с. 214.
1. Платон. Сочинения. В 3-х т., т. 1. М., 1968; т. 2. М., 1970;
т 3, ч. 1. М., 1971; т. 3, ч. 2. М., 1972. «Апология Сократа», о которой пойдет речь ниже, помещена в т. 1.
2. Платон. Сочинения, т. 1, с. 83—84.
3. Гиппократа, персонажа этого диалога Платона, не следует смешивать с его современником — знаменитым древнегреческим врачом Гиппократом Косским (прибл. 460—377 гг. до н. э.).
4. Платон. Сочинения, т. 1, с. 191—193.
5. См. А. Ф. Лосев. Комментарии.— В кн.: Платон. Сочинения, т. 2. с. 590.
6. Платон. Сочинения, т. 2, с. 404—405.
7. На эти слова Канта очень часто ссылаются, но очень редко их цитируют. Вот что дословно говорит Кант: «так как во всяком учения о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика» (И. Кант. Сочинения. В 6-ти т., т. 6. М., 1966, с. 59). Таким образом, кантовский тезис о «математичности» как мере научности был связан с общей априористской концепцией Канта.
8. Платон. Сочинения, т. 2, с. 416.
9. В переводе с греческого «органон» означает орудие (метод) исследования; под этим названием комментаторы Аристотеля объединили пять его сочинений по логике и методам научного познания: «Категории» (русск. перев. 1939 г.) «Об истолковании» (русск. дерев. 1891 г.), «Аналитики первая и вторая» (русск. перев. 1952 г.), «Топика» и «Опровержение софистических аргументов».
10. Аристотель. Аналитики первая и вторая. [М.], 1952, с. 14—15 (см. также примечения к русскому переводу с. 293).
11. Я. Лукасевич. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. Перев. с англ. М, 1959, с. 189, Ян Лукасевич в данной книге (вышедшей на англ. языке в 1951 г.) систематически исследовал силлогистику Аристотеля с позиций современной математической логики.
12. Аристотель создал не только силлогистику — в его трудах мы находим исследование дедуктивного метода (о котором речь пойдет в дальнейшем), логических модальностей (им изучалась логика рассуждений, в которых существенную роль играют модальные выражения «необходимо, что...», «возможно, что...», «невозможно» что...» и т. п.), определений, простейших обобщающих (индуктивных) умозаключений, аналогии, логических ошибок и до.
13. L. Falmar. Foundations of Mathematics, wether now? - "Problems of the Philosophy of Mathematics" (Proceedings of the International Colloquiumin the Philosophy of Science, London, 1965, vol.1) Amsterdam, 1967, p.188. Из работ А. Сабо, обосновывающих этот тезис, укажем: А. Сабо. О превращении математики в дедуктивную науку и начале ее обоснования.— В кн.: Историко-математические исследования. Вып. XII. М., 1959.
14. О влиянии логико-методологических идей Аристотеля на древнегреческую математику см. С. А. Яновская. Из истории аксиоматики.— В кн.: С. А. Яновская. Методологические проблемы науки. М., 1972.
1. Дж. Свифт. Сказка бочки. Путешествия Гулливера. М., 1976, с. 293-294.
2. См. Ф. Рабле. Гаргантюа и Пантагрюэль. М., 1973, книга вторая, глава VIII (она содержит письмо Гаргантюа, в котором он рекомендует своему сыну Пантагрюэлю оставить без внимания астрологию и искусство Луллия как «науки пустые и лживые»).
3. В трактате «О достоинстве и преумножении наук» (1623) Ф. Бэкон сравнивал «искусство Луллия» с лавкой старьевщика, «где можно , найти множество тряпья, но нельзя найти ничего, что имело бы хоть какую-нибудь ценность» (Ф. Бэкон. Сочинения. В 2-х т.. т. 1. М., 1971, с. 349.
4. Предупреждаем, впрочем, что «искусство» Луллия было гораздо сложнее, чем может показаться из приведенного выше его краткого описания. Например, в его комбинаторике нашли свое место даже вопросительные предложения (заметим в этой связи, что логика вопросительных форм и по сей день остается мало разработанной). Читателя, желающего подробнее ознакомиться с логикой Луллия и его школы, мы отсылаем к книгам: В. Владиславлев. Логика. Обозрение индуктивных и дедуктивных приемов мышления и исторические очерки: логики Аристотеля, схоластической диалектики, логики формальной и индуктивной. Спб, 1881; Н. И. Стяжкин. Формирование математической логики. М.. 1967; М. Gardner. Logic Machines and Diagrams. New York - Toronto - London, 1958.
5. Большинство лейбницевых текстов логического содержания было впервые издано в 1901 и 1903 гг. Луи Кутюра. Впрочем, научное наследство Лейбница еще полностью не опубликовано; как отмечает И. С. Нарский в книге «Западноевропейская философия XVII века» (М., 1974, с. 281), в ганноверском архиве Лейбница хранится около 75 тысяч отдельных его работ.
6. По словам Б. Рассела, «есть две системы философии, каждую из которых можно рассматривать как представляющую взгляды Лейбница: одна, которую он открыто провозглашал, была оптимистической, ортодоксальной, фантастической и мелкой; другая, которую постепенно извлекали из его рукописей относительно недавние издатели, была глубокой, ясной, ... удивительно логичной» (Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, с. 600).
7. О жизни и научном творчестве Лейбница в интересующей нас области см. книгу Н. И. Стяжкина, указанную в примечании 4. Философские взгляды Лейбница подробно освещены в книге И. С. Нарского, упомянутой в примечании 5. Облик Лейбница как ученого и человека обрисован в книге: И. Б. Погребысский. Готфрид Вильгельм Лейбниц. 1646—1716. М., 1971.
8. G.W. Leibniz. Fragmente zur Logik. Berlin. 1960, S. 16.
9. Там же.
10. Н. Винер. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. Второе издание. М., 1968, с. 57.
11. Н. Винер. Кибернетика и общество. М., 1958, с. 32—33.
12. И.Слешинский. Логическая машина.— «Вестник опытной физики и элементарной математики». Одесса, 1893, № 175 (7).
13. Цитируется по статье: А. И. Берг. Кибернетика и общественные науки.— В кн.: Методологические проблемы науки. Материалы заседания Президиума Академии наук СССР. М., 1964, с. 260. О машине Джевонса в России, усовершенствованной известными физико-химиками П. Д. Хрущевым и А. Н. Щукаревым, см.: В. А. Велигжанин, Г.Н. Поваров. К истории создания логических машин в России.-«Вопросы философии», 1971, № 3.
14. Ст. Джевонс. Основы науки. Трактат о логике и научном методе. Спб, 1881, с. 2. В этой книге читатель найдет подробное и очень доступное изложение алгебры логики Джевонса — теории, в которой впервые в логике фактически присутствовало то, что ныне называется булевой алгеброй (см. следующую главу). В нашем изложении мы несколько изменили символику Джевонса, приблизив ее к современной. Примеры, которыми мы оперируем, принадлежат Джевонсу.
15. Операция пересечения двух произвольных классов (множеств) — это операция, порождающая такой класс — его обычно обозначают А ∩ В или просто AВ, как в нашей записи, который состоит из элементов, входящих как в класс A, так и в класс В. В дальнейшем будут использоваться также понятия объединения двух классов и дополнения к классу. Операцией объединения произвольных классов A и В называется операция, порождающая такой класс (он обозначается через A ∪ В), который состоит из элементов, входящих хотя бы в один из классов: в A или в В.
Операция взятия дополнения к произвольному классу A (до некоторого объемлющего универсального класса, или универсума, V) есть операция, порождающая класс, состоящий из всех тех и только тех) элементов универсума, которые не входят в класс А; дополнение к А обозначается через A' или -A. Заметим, что операции пересечения и объединения классов обладают свойством коммутативности (перестановочности, симметричности), то есть А ∩ В = В ∪ А, А ∪ В = В ∩ А (это свойство используется ниже в примере 3).
