Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы
ящика.
Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Dw. Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных колебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина k связана с частотой формулой
|k| =w/c. (2.39)
Значит, в интервал частот Dw попадают все моды, отвечающие векторам k, величина которых меняется от k до k+Dk независимо от направления. «Объем в k-пространстве» между k и k+Dk — это сферический слой, объем которого равен
4pk2Dk.
Количество собственных колебаний (мод) тогда равно
Однако раз нас интересуют частоты, то надо подставить k=w/c, и мы получаем
Но здесь возникает одно усложнение. Если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каждому данному волновому вектору k может соответствовать любая из двух поляризаций (перпендикулярных друг другу). Поскольку эти собственные колебания независимы, то нужно (для света) удвоить их число. И мы имеем
Мы показали уже [см. (2.33)], что каждое собственное колебание (мода, тип колебаний, «состояние») обладает в среднем
энергией
Умножая это на число собственных колебаний, мы получаем энергию DЕ. которой обладают собственные колебания лежащие в интервале Dw
Это и есть закон для спектра частот излучения абсолютно черного тела, найденный нами уже однажды в гл. 41 (вып. 4). Спектр этот вычерчен на фиг. 2.10.
Фиг. 2.10. Спектр частот излучения в полости при тепловом равновесии (спектр «абсолютно черного тела»).
На оси ординат отложена величина
отличающаяся от dE/dw постоянным множителем
Вы теперь видите, что ответ зависит от того факта, что фотоны являются бозе-частицами — частицами, имеющими тенденцию собираться всем вместе в одном и том же состоянии (амплитуда такого поведения велика). Бы помните, что именно Планк, изучавший спектр абсолютно черного тела (который представлял загадку для классической физики) и открывший формулу (2.43), положил тем самым начало квантовой механике.
§ 6. Жидкий гелий
Жидкий гелий при низких температурах обладает рядом странных свойств, на подробное описание которых у нас, к сожалению, не хватает времени. Многие из них просто связаны с тем, что атом гелия — это бозе-частица. Одно из этих свойств— жидкий гелий течет без какого бы то ни было вязкого сопротивления. Это в действительности та самая «сухая» вода, о которой мы говорили в одной из прежних глав (при условии, что скорости достаточно низки). Причина здесь вот в чем. Чтобы жидкость обладала вязкостью, в ней должны быть внутренние потери энергии; надо, чтобы одна из частей жидкости могла двигаться не так, как оставшаяся жидкость. Это означает, что должна быть возможность выбивать некоторые атомы в состояния, отличные от тех, в которых пребывают другие атомы. Но при достаточно низких температурах, когда тепловое движение становится очень слабым, все атомы стремятся попасть в одни и те же условия. Так, если некоторые из них движутся в одну сторону, то и все атомы пытаются двигаться все вместе таким же образом. Это своего рода жесткость по отношению к движению, и такое движение трудно разбить на неправильные турбулентные части, как это было бы, скажем, с независимыми частицами. Итак, в жидкости бозе-частиц есть сильное стремление к тому, чтобы все атомы перешли в одно состояние,— стремление, представляемое множителем Ц(n+1), полученным нами ранее. (А в бутылке жидкого гелия n, конечно, очень большое число!) Это движение не происходит при высоких температурах, потому что тогда тепловой энергии хватает на то, чтобы перевести разные атомы во всевозможные различные высшие состояния. Но при достаточном понижении температуры внезапно наступает момент, когда все атомы гелия стремятся оказаться в одном и том же состоянии. Гелий становится сверхтекучим. Кстати, это явление возникает лишь у изотопа гелия с атомным весом 4. Отдельные атомы изотопа гелия с атомным весом 3 суть ферми-частицы, и жидкость здесь самая обычная. Поскольку сверхтекучесть бывает лишь у Не4, то со всей очевидностью этот эффект квантовомеханический, вызываемый бозевской природой a-частицы.
§ 7. Принцип запрета
Ферми-частицы ведут себя совершенно иначе. Посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся поместить две ферми-частицы в одно и то же состояние. Вернемся к нашему первоначальному примеру и поинтересуемся амплитудой того, что две идентичные ферми-частицы рассеются в почти одинаковом направлении. Амплитуда того, что частица а пойдет в направлении 1, а частица b — в направлении 2, есть
<1|a>.<2|b>,
тогда как амплитуда того, что направления вылетающих частиц обменяются местами, такова:
<2|а><1|b>.
Раз мы имеем дело с ферми-частицами, то амплитуда процесса является разностью этих двух амплитуд:
<1|а><2|b>-<2|а><1|b>. (2.44)
Следует сказать, что под «направлением 1» мы подразумеваем, что частица обладает не только определенным направлением, но и заданным направлением своего спина, а «направление 2» почти совпадает с направлением 1 и отвечает тому же направлению спина. Тогда <1|а> и <2|а> будут примерно равны. (Этого могло бы и не быть, если бы состояния 1 и 2 вылетающих частиц не обладали одинаковым спином, потому что тогда по каким-то причинам могло бы оказаться, что амплитуда зависит от направления спина.) Если теперь позволить направлениям 1 и 2 сблизиться друг с другом, то полная амплитуда в уравнении (2.44) станет равной нулю. Для ферми-частиц результат много проще, чем для бозе-частиц. Просто абсолютно невозможно, чтобы две ферми-частицы, например два электрона, оказались в одинаковом состоянии. Вы никогда не обнаружите два электрона в одинаковом положении и со спинами, направленными в одну сторону. Двум электронам невозможно иметь один и тот же импульс и одно и то же направление спина. Если они оказываются в одном и том же месте или в одном и том же состоянии движения, то единственное, что им остается,— это завертеться навстречу друг другу.
Каковы следствия этого? Имеется множество замечательных эффектов, проистекающих из того факта, что две ферми-частицы не могут попасть в одно и то же состояние. На самом деле почти все особенности материального мира зависят от этого изумительного факта. Все разнообразие, представленное в периодической таблице элементов, в основе своей является следствием только этого правила.
Конечно, мы не можем сказать, на что был бы похож мир, если бы это правило — и только оно одно — изменилось; ведь оно является частью всей структуры квантовой механики, и невозможно сказать, что бы еще изменилось, если бы правило, касающееся ферми-частиц, стало бы другим. Но все же попробуем представить себе, что случилось бы, если бы переменилось только это правило. Во-первых, можно показать, что каждый атом остался бы более или менее неизменным. Начнем с атома водорода. Он заметно не изменился бы. Протон ядра был бы окружен сферически симметричным электронным облаком (фиг. 2.11, а).
Фиг. 2.11. Так могли бы выглядеть атомы, если бы электроны вели себя как бозе-частицы.
Как мы уже писали в гл. 38 (вып. 3), хоть электрон и притягивается к центру, принцип неопределенности требует, чтобы было равновесие между концентрацией в пространстве и концентрацией по импульсу. Равновесие означает, что распределение электронов должно характеризоваться определенной энергией и протяженностью, определяющими характеристические размеры атома водорода.
Пусть теперь имеется ядро с двумя единицами заряда, например ядро гелия. Это ядро будет притягивать два электрона, и, будь они бозе-частицами, они бы, если не считать их электрического отталкивания, сплотились близ ядра как можно тесней. Атом гелия выглядел бы так, как на фиг. 2.11, б. Точно так же и атом лития, у которого ядро заряжено трехкратно, обладал бы электронным распределением, похожим на то, что изображено на фиг. 2.11, в. Каждый атом выглядел бы более или менее, как раньше: круглый шарик, все электроны в котором сидят близ ядра; не было бы никаких выделенных направлений и никаких сложностей.
Но из-за того, что электроны — это ферми-частицы, действительное положение вещей совершенно иное. Для атома водорода оно в общем-то не меняется. Единственное отличие в том, что у электрона есть спин (показан на фиг. 2.12, а стрелочкой).
