Так закон всемирного тяготения был впервые проверен в лаборатории. По смещению светового зайчика Кавендиш рассчитывал силу притяжения шариков. Меняя их массы, ученый доказал справедливость того, что записано в числителе формулы закона тяготения: пропорциональность силы обеим тяготеющим массам. А варьируя расстояние между шарами, он подтвердил обратную пропорциональность силы притяжения именно квадрату расстояния. Но главное, что он узнал, — это значение постоянной γ. Ведь и массы, и силы, и расстояния были измерены — осталось вычислить постоянную тяготения.
Она оказалась равной 6,7·10-8см3/(г·сек2)
Дальше следует феерический фонтан волшебства ньютоновской механики.
Взвешиваем планету
Что бы такое взвесить поудивительнее? Хотите Землю? Пожалуйста! К вашим услугам формула всемирного тяготения. Вместо Земли можете положить на весы яблоко. Получилось сто граммов. Это масса яблока mя. На весах и гирях всегда проставлены именно единицы массы.
Чтобы получить силу тяготения F, вспоминаем второй закон Ньютона и массу яблока множим на земное ускорение g, то есть 100 г·981 см/сек2. Это вес. Рискуя показаться навязчивым, я напомню, что когда-то мы определяли его как давление тела на опору, потом — как силу тяготения, исходящую от центра масс Земли и приложенную к телу. Разумеется, яблоко, притягиваемое Землей, давит на опору. В свою очередь, опора давит на яблоко — исполняется третий закон. А потому между яблоком и опорой мы вправе поместить пружину. Она сожмется тем сильнее, чем сильнее тяготение. Вот мы и измерили с помощью весов земное притяжение.
Знаете радиус Земли? Напомню — 6300 километров, или 6,3·108 см (перед вычислением все величины нужно свести к одной системе единиц).
Теперь можно вычислить.
Масса Земли mз=Fr2/(γ·mя) = 100г · 981 см/сек2 · (6,3·108 см)2 /(6,7·10-8 см3/(г·сек2) ·100 г) = 6·1027 г = 6·1021 т.
Подсчитали? Загляните в энциклопедию — масса Земли именно такова.
Вот и свершилось волшебство — по весу яблока определена гигантская масса планеты.
Это вас не восхищает?
Без весов
Пожалуй, будет лучше, если внимательный читатель вместо восхищения поймает автора за рукав и сделает ему замечание: по формуле закона всемирного тяготения массу Земли можно было определить и без взвешивания яблока. Ведь если вес яблока F = mяg, а r — земной радиус, то масса Земли
mз = mяgr2/(γmя) = gr2/γ
Масса яблока в числителе и знаменателе сокращается. Формула открывает удивительную возможность взвешивать Землю вообще без всяких весов — по постоянной тяготения и величине ускорения силы тяжести.
Если вы забыли значение g, покараульте с секундомером в руках возле какой-нибудь яблони, засеките время, за которое очередное яблоко пролетело с ветки до земной поверхности, потом измерьте высоту ветки, по галилеевской формуле s=gt2/2 (из первой главы этой книжки), подсчитайте g и вставьте в только что выведенную формулу mз= gr2/γ. Через минуту вычислений вы узнаете, во всей ее огромности, земную массу. Узнаете количество вещества своей планеты! Недаром Кавендиш, который, разумеется, превосходно помнил значение g, назвал свой исторический эксперимент, позволивший впервые вычислить постоянную тяготения «взвешиванием Земли». Он узнал γ и сразу подсчитал, какова масса земного шара.
Этим уже стоит чистосердечно восхититься.
Да, падающее яблоко многое могло подсказать наблюдательному Ньютону.
На вышине
Догадываетесь, в чем секрет замечательного умения, которым вы овладели вслед за Ньютоном и Кавендишем? Секрет в том, что использовано равенство тяжелой и инертной масс: ведь в числителе формулы стояла инертная масса из второго закона Ньютона, а в знаменателе — тяжелая масса из закона всемирного тяготения. Мы их сократили и были вправе сделать это только потому, что они не в состоянии «переспорить» друг друга, или, иначе говоря, только потому, что все тела падают одинаково быстро.
Так из явлений маленьких, ежеминутно происходящих на наших глазах, вырастают закономерности широчайшего охвата. Не в отвлеченном рассуждении, не в расплывчатой фразе, а в конкретном деловом расчете физик совмещает песчинку с планетой.
Предсказания Ньютона широки и многообразны.
Вы хотите узнать, сколько будет весить килограммовая буханка хлеба на вершине Монблана? Пожалуйста, используйте формулу всемирного тяготения. Получится 997 граммов. Пожелали выяснить значение ускорения силы тяжести на высоте орбитального полета Гагарина — та же формула даст вам ответ. Проделайте вычисления, и вы убедитесь, что оно там уменьшится незначительно — всего на одну шестнадцатую часть. На столько же уменьшился бы и вес. Это неожиданно для наивных людей, полагавших, что спутники невесомы из-за удаления от земного шара.
Боюсь, самым любопытным из читателей уже захотелось взвесить Солнце.
А почему бы и не взвесить?
Взвешиваем Солнце
Это весьма просто. Расстояние до Солнца спросим у астрономов. Они скажут: 150 000 000 километров. Кроме того, мы знаем, что Земля падает на Солнце, хоть и не может упасть.
Об этом странном факте нелишне поговорить поподробнее, пользуясь законами Ньютона.
Благодаря своей инерции Земля постоянно стремится улететь от Солнца по прямой (первый закон Ньютона). Вместе с тем Земля испытывает солнечное притяжение (закон всемирного тяготения) и приобретает ускорение, направленное к Солнцу (второй закон Ньютона). Эти два движения складываются — получается вечное обращение Земли вокруг Солнца.
Стоит напомнить, что свободное падение отнюдь не обязано быть отвесным. Пуля, вылетевшая из дула пистолета параллельно земной поверхности, приближается к ней так же быстро, как и пуговица, упавшая со стола. Земля как пуля. Она не отвесно падает на Солнце.
Каково же ускорение падающей Земли?
Длину земной орбиты подсчитать проще простого. Эта орбита — круг радиусом 150 миллионов километров. Помножьте радиус на «два пи» (6,28) — выйдет миллиард километров. Время — 365 суток, год нашей жизни. Отсюда нетрудно подсчитать, что за секунду Земля успевает пролететь 30 километров по своей орбите и одновременно упасть к Солнцу на три миллиметра. По формуле Галилея S =act2/2 сразу же получаем значение ускорения Земли к Солнцу: ас = 0,6 см/сек2. Маловато, конечно. Но зато мы можем не опасаться катастрофического столкновения со своим жарким светилом.
Масса Солнца теперь выясняется автоматически: 2·1027тонн. Обратите внимание, на этот раз нам не понадобилась масса Земли. Достаточно было знать ускорение ее падения на Солнце. Любое тело, находящееся на земной орбите, будет падать к Солнцу с тем же ускорением — 0,6 см/сек2. Так в астрономическом масштабе продолжает действовать постоянство ускорения свободного падения для тел каких угодно масс. Явление, которое мы подметили на сосульках, падающих с карниза!
Ангелы-бездельники
От Солнца переходим к планетам.
Было время, когда неглупые люди всерьез полагали, что планеты все время подталкиваются ангелами, потому-де они и движутся. На каждую по ангелу.
Как следует из ньютоновских законов, ангелы эти — бездельники. Планеты великолепно обходятся без них: по инерции летят прямо, а влекомые солнечным тяготением, падают на светило. В результате сложения этих двух движений планеты сворачивают с прямого пути и движутся по эллипсам — так называют в геометрии фигуры, похожие на овал.
Сумма расстояний точек эллипса от двух точек, лежащих внутри фигуры и называемых фокусами, постоянна (это геометрическое определение).
