из которых образуется пространство, представляют собой пересечения. Они в определенных участках переходят одна в другую. То есть если мы посмотрим на рисунок 3, где изображены переплетенные друг с другом кольца, то должны к тому же представить, что каждое кольцо имеет точки пересечения с соседними, как если бы это была растянутая сеть. И в точках контакта кольца спаяны. Они не просто цепляются друг за друга, они связаны. И мы не могли понять, что такое эти места спайки, эти пересечения.
Сеть спина
В середине девяностых во время пребывания Ли в Вероне мы работали по довольно стандартному методу расчета. В квантовой механике, как уже говорилось, множество величин квантовано. Это означает, что они не могут иметь какие угодно числовые значения, а только вполне определенные и дискретные. Чтобы подсчитать значения, которые может принять эта величина, используется техника, которая называется «вычисление спектра оператора». В нашем же случае нас интересовала одна особая физическая величина: объем.
Что такое объем? Это мера количества пространства. Объем – это то количество пространства, которое содержится, например, вот в этой комнате. Но если пространство стало гравитационным полем, объем становится измерением гравитационного поля. И если мы имеем дело с квантовой теорией, то велик шанс того, что объем имеет дискретный вид в числовом выражении. Значит, должны быть отдельные «зерна» объема. Вычисления оказались сложными. Нам удалось, однако, с ними справиться, и все благодаря помощи крупного английского математика Роджера Пенроуза. Мы решили поехать проконсультироваться с ним, когда заметили, что наши расчеты ведут к математическим «объектам», которые Пенроуз изучал за двадцать лет до этого: они называются spin networks – сети спина [5].
И вот итог вычислений: объем действительно имеет дискретную и варьируемую в числовом отношении структуру, и значит, пространство состоит из квантов объема, этих «зерен» пространства. Теперь мы открыли, что эти кванты пространства находятся в точках пересечения петель. Загадочные пересечения, обнаружившиеся при наших вычислениях, именно и являются зернами пространства, которые мы искали.
Эти выводы изменили нашу первоначальную картину. Пересечения приобрели бо́льшую важность, чем сами линии Фарадея в гравитационном поле. Мы перестали говорить о совокупностях петель с точками пересечения, мы стали говорить о совокупности точек пересечения, объединенных связями, то есть сетью. Петли так или иначе существовали: они связывали множество точек линией Фарадея, которая замыкалась на себе самой. Каждая точка принадлежала не одной, а нескольким петлям, возможно, многим, а из этого следовало, что петли могут иметь не только общие точки и общие отрезки между точками. Так, в составе одной и той же связи можно найти не одну линию Фарадея, а больше. Число линий Фарадея, наложенных друг на друга на протяжении одной и той же связи, – это число, которое называют спином связи. По запутанным историческим причинам используются как целые, так и половины целых чисел, и поэтому ряд составляют 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2… У каждой связи свой спин, то есть число разных петель, наложенных на эту связь. Отсюда понятие «сети спина».
Рисунок 5. Одна из «сетей спина» (слева), которая образована линиями Фарадея в гравитационном поле; каждый отрезок линии принадлежит одной или многим петлям, соединяющим множество точек; точки пересечения – это узлы сети. В них находятся зерна пространства (обозначенные справа кругами). Связи в сети отображают отношения соседства между зернами пространства.
Образ квантового пространства получился удивительным: узлы в сети спина – это зерна пространства, а связи соединяют одни точки с другими и дают нам представления о пространственных отношениях между ними. Спин каждой связи дает нам число петель, через которые эта связь проходит, и таким образом говорит о том, какие зерна с какими находятся в контакте. Это наглядно поясняет рисунок 5.
Как было сказано, подсчет «спектра объема» обеспечивает нас числовыми значениями объема, особыми определенными значениями. Так же подсчет может быть сделан и для поверхности. В этом случае вычисляют «спектр поверхности» и находят совокупность чисел, которые являются возможными и вероятными результатами при измерении поверхности. Поэтому петлевая теория гравитации позволяет предсказать также, что если мы точно измерим поверхность, то получим не какие угодно числа, а только одно из тех, что нашли при измерении спектра.
Когда мы говорим, что ящик имеет объем один кубический метр, мы в действительности считаем, сколько зерен пространства, или, скорее, сколько «квантов гравитационного поля» в этом ящике (сколько пересечений в сети спина). Кванты, конечно, очень малы сами по себе. В ящике с объемом один кубический метр их количество обозначается числом из сотни цифр.
Точно так же, когда мы говорим, что поверхность страницы этой книги, скажем, двести квадратных сантиметров, мы в действительности считаем число связей в сети, или, иначе, число элементарных петель, которые пересекают поверхность страницы. Для страницы этой книги число будет состоять приблизительно из семидесяти цифр. Это отображено на рисунке 6. Конечно, речь идет не о реальной странице, а об умозрительной поверхности, которая имеет тот же размер, что и она, потому что петли намного меньше толщины бумажного листа. Поэтому здесь мы теоретически исключаем какую-либо толщину.
Рисунок 6. Поверхность Σ пересечена петлей (на рисунке только ее сегмент) в точке P. Размер поверхности зависит от числа петель, которые ее пересекают. Поверхность, эквивалентная странице этой книги, пересечена приблизительно 1070 петель, то есть их число будет состоять из семидесяти цифр.
Существующая технология недостаточно развита для того, чтобы проверить математические предположения, потому что точность обычных измерений поверхности или объема далека от уровня, на котором высчитывается количество петель. Но очень важно, что сама теория способна предоставить точные предсказания величины, которые, по крайней мере в принципе, можно проверить. Если бы она не была на такое способна, она не была бы научной. До сего дня петлевая теория гравитации – это единственная квантовая теория, дающая однозначные и ясно выраженные математические предсказания, доступные для проверки.
Сети спина предоставляют математически точное описание квантовой структуры пространства. Точнее, поскольку мы имеем дело с квантовой механикой и, значит, с вероятностями, теория формулируется в терминах облаков вероятностей, соответствующих сетям спина. Следует представить себе, что эти сети спина, образующие весь мир, шевелятся, вибрируют, кишат, подобно черным и белым точкам на экране телевизора, от которого отключена антенна. Математическая часть теории описывает эту подвижность сетей спина.
Удивительная сторона дела заключается в том, что Роджер Пенроуз «придумал» сети спина силой одного лишь воображения, когда пытался описать, на что похоже квантовое пространство. И вот мы наткнулись на
