Рис. 6.3. Суперпозиция пяти волн, изображённых на рис. 6.2. В точке x=0 (по горизонтальной оси) волны на рис. 6.2 находятся в фазе, так что они складываются конструктивно. Вблизи x=0 волны всё ещё очень близки по фазе, но следующие максимумы возле точек x=6 и −6 уже не столь велики, как максимум на x=0. В областях от 10 до 20 и от −10 до −20 вследствие разницы в длинах волн одни волны оказываются положительными, а другие — отрицательными. Здесь имеет место их значительное взаимное подавление
Рис. 6.4. Суперпозиция 250 волн с длинами, равномерно распределёнными в диапазоне от 0 до 4. По сравнению с рис. 6.3, где показана суперпозиция пяти волн, эта суперпозиция имеет значительно более выраженный пик при x=0, в области максимальной конструктивной интерференции, а деструктивная интерференция вызывает более сильное подавление в других областях. Амплитуда суперпозиции сходит на нет с приближением к отметке 20
На рис. 6.4 показана суперпозиция 250 волн разной длины. Длины этих волн равномерно распределены в диапазоне от 0 до 4. Как и в случае с пятью волнами (см. рис. 6.2) и их суперпозицией (см. рис. 6.3), все эти волны имеют одинаковую амплитуду. Фазы 250 волн подогнаны так, чтобы совпадать при x=0. Поскольку здесь волн гораздо больше и диапазон их длин шире, чем в случае, представленном на рис. 6.3, пик вблизи x=0 значительно уже и с удалением от него затухание происходит гораздо быстрее. Небольшие осцилляции возникают вследствие того факта, что все волны в суперпозиции имеют одинаковую амплитуду. Если амплитуда волны в середине распределения по длинам волн является наибольшей, а амплитуды других волн становятся всё меньше и меньше по мере удаления от средней длины волны, то можно получить суперпозицию, которая плавно спадает до нуля без набора убывающих по амплитуде осцилляций. Этот тип суперпозиции будет обсуждаться ниже.
Принцип суперпозиции
В главе 5 интерференционный эксперимент анализировался в терминах суперпозиции двух трансляционных состояний фотона: T1 и T2. Фотон в интерферометре описывается как находящийся в состоянии суперпозиции 50 на 50: T=T1+T2. Идея суперпозиции играет центральную роль в описании природы с точки зрения квантовой теории, а так называемый принцип суперпозиции утверждает, что «всякая система в определённом состоянии всегда может рассматриваться как находящаяся отчасти в каждом из двух или более состояний».
Исходное состояние может рассматриваться как суперпозиция двух или более состояний, подобно задаче с интерферометром, где трансляционное состояние фотона T может быть описано как суперпозиция T1 и T2. И наоборот, два или более состояния могут накладываться друг на друга, порождая новое состояние. Именно это, второе, утверждение мы будем использовать для понимания фундаментальной природы частиц. Тот факт, что фотон может вести себя как частица в случае фотоэлектрического эффекта и как волна при интерференции, вытекает из принципа суперпозиции и влечёт за собой принцип неопределённости Гейзенберга.
Собственные состояния
При обсуждении рис. 6.1 говорилось, что свободная частица с чётко определённым импульсом p представляет собой делокализованную волну амплитуды вероятности, распределённую по всему пространству. Про такую частицу говорят, что она находится в собственном состоянии по импульсу. При обсуждении задачи об интерференции мы называли T1 и T2 чистыми состояниями, однако их корректное название — собственные состояния. Собственное состояние для конкретной наблюдаемой физической величины, такой как импульс, — это состояние с чётко определённым значением данной величины.
Свободная частица, находящаяся в собственном состоянии по импульсу, полностью делокализована в пространстве. Для каждого из бесконечного числа возможных значений импульса существует по одному такому собственному состоянию. Положение частицы однородно размазано по всему пространству, поскольку волновая функция, связанная с этим собственным состоянием, распределена по всему пространству. Однако, согласно принципу суперпозиции, новое состояние может быть образовано из любого числа собственных состояний по импульсу.
Суперпозиция волн амплитуды вероятности импульсных собственных состояний
Для понимания природы реальных частиц — фотонов, электронов и т. п. — мы будем строить суперпозиции волн амплитуды вероятности для целых диапазонов импульсных собственных значений, подобно тому как это было показано на рис. 6.1. Для каждого импульса p волна имеет свою длину: — λ=h/p. Из рис. 6.3 и 6.4 видно, что сложение волн с различными длинами приводит к концентрации амплитуды волны в определённой области пространства. Как отмечалось в обоих рассмотренных выше примерах, амплитуда всех волн в этих суперпозициях была одинаковой.
Теперь мы будем складывать импульсные волны амплитуды вероятности с различными амплитудами. Есть одна волна (определённое значение p) с наибольшей амплитудой. И чем больше другие волны отличаются от неё по длине, тем меньше их амплитуда. Длина волны с максимальной амплитудой находится в центре распределения. Под распределением имеется в виду просто диапазон длин волн. Представьте себе такую аналогию: комната, полная людей, которые распределены по возрасту. Некоторые люди будут иметь средний возраст, соответствующий центру распределения, другие будут старше или моложе среднего. В нашем случае имеется волна в центре распределения и другие волны — более короткие и более длинные.
Рис. 6.5. График вероятности обнаружить частицу в конкретном импульсном собственном состоянии, соответствующем импульсу p, задаётся как суперпозиция импульсных волн амплитуды вероятности. Значение p0 — это средняя волна с наибольшей амплитудой в данном распределении. Величина ∆p служит мерой ширины распределения собственных значений
На рис. 6.5 показано распределение волн амплитуды вероятности для импульсных состояний. Значение p0 — это импульс волны в центре распределения. Она имеет длину λ=h/p0. Это волна с наибольшей амплитудой, с наибольшей вероятностью обнаружения в данном распределении. При увеличении или уменьшении импульса относительно p0 (λ соответственно будет меньше или больше) величина отдельной волны в суперпозиции (её вероятность) убывает. Величина ∆p служит мерой ширины распределения. Если значение ∆p велико, имеется большой разброс по p, а значит, и большая ширина распределения длин волн. Если значение ∆p мало́, то мала и ширина распределения длин волн.
Импульс свободной частицы в состоянии суперпозиции
Чему равен импульс свободной частицы, которая находится в суперпозиции собственных состояний импульса, как показано на рис. 6.5? Суперпозиция собственных состояний импульса означает, что мы просто складываем (накладываем друг на друга) группу волн (амплитуды вероятности), где каждой волне соответствует конкретное (собственное) значение импульса. При любом измерении любой характеристики — системы будет получено конкретное значение этой характеристики. Если мы измерим импульс частицы, то получим одно конкретное значение импульса. Природа возмущения, сопутствующего измерению абсолютно малого объекта, состоит в том, что состояние суперпозиции коллапсирует в одно-единственное собственное значение. Выполнение измерений меняет систему, переводя её из исходного состояния суперпозиции в одно из конкретных собственных значений. Именно это мы называем коллапсом.
