142
Это наблюдение необходимо произвести так, чтобы не помешать прохождению частицы через щель t. Этого можно было бы достичь, разместив детекторы в другом месте — рядом с щелью s. Тогда можно будет делать заключение о прохождении частицы через щель t, когда эти детекторы не срабатывают!
Здесь возникает техническая трудность, так как настоящая вероятность найти частицу строго в данной точке была бы равна нулю. Поэтому величину
|ψ(x)|2 мы предпочитаем называть плотностью вероятности. Это означает, что на самом деле нам нужна вероятность найти частицу в некотором малом интервале фиксированных размеров. Таким образом, ψ(х) определяет плотность амплитуды, а не просто амплитуду.
На стандартном аналитическом языке любая из наших штопорообразных винтовых линий (т. е. любое импульсное состояние) задается формулой
ψ = eipx/h = cos(ipx/h) + isin(ipx/h),
где р — рассматривемое значение импульса z. (см. главу 3)
Эти две эволюционные процедуры были описаны в классическом труде выдающегося американского математика венгерского происхождения Джона (Яноша) фон Неймана [1955]. Его «процесс 1» — то, что я назвал R-процедурой — «редукцией вектора состояния», а его «процесс 2» — то, что я назвал U-процедурой — «унитарной эволюцией» (унитарность означает, что амплитуды вероятности в ходе эволюции сохраняются). На самом деле существуют и другие (хотя и эквивалентные) описания эволюции U квантового состояния, в которых не используется термин «уравнение Шредингера». Например, в «картине Гейзенберга» состояние описывается таким образом, что кажется, будто оно вообще не эволюционирует; динамическая эволюция понимается как непрерывный сдвиг смысла координат положения/импульса. Разные отличия этих картин для нас сейчас несущественны, так как описания процесса U полностью эквивалентны.
В более обычном квантовомеханическом описании эту сумму следовало бы разделить на нормирующий множитель, равный √2, т. е. взять сумму (ψt + ψb) ∕ √2, но усложнять таким образом описание сейчас нет необходимости.
Это важное понятие бесконечномерного пространства, с которым нам уже приходилось встречаться в предыдущих главах, ввел Давид Гильберт задолго до открытия квантовой механики и для совершенно других математических целей!
Для полноты следовало бы также привести все требуемые алгебраические правила, записанные в используемых в тексте обозначениях (Дирака),
Угловые скобки, использованные в книге,
, заменены на круглые
|x|, |ψ), |1), |2), |3), |n), |↑), |↓),|→),|←) — за отсутствием в «таблице символов». В элементах изображений (при ипользовании картинок), соответственно, осталось все как есть. Надеюсь, путанницы не возникнет. — Прим верст. fb2
Не исключается также и случай, когда эта комбинация представляет собой бесконечную сумму векторов. Полное определение гильбертова пространства (которое, на мой взгляд, слишком формально для того, чтобы здесь вдаваться в его подробности) включает в себя правила, позволяющие оперировать с такими бесконечными суммами.
Существует важная операция, называемая скалярным произведением (или внутренним произведением) двух векторов, которая может быть использована для того, чтобы очень просто выразить такие понятия, как «единичный вектор», «ортогональность» и «амплитуда вероятности». (В обычной векторной алгебре скалярное произведение равно ab cos v, где а и b — длины векторов, a v — угол между их направлениями.) Скалярное произведение векторов из гильбертова пространства дает комплексное число. Скалярное произведение двух векторов состояния |ψ) и |X) записывается в виде |ψ|X). Для него справедливы алгебраические правила
,
где черта сверху означает комплексное сопряжение. Числом, комплексно сопряженным с z = х + iy, называется
, где х и у — действительные числа; обратите внимание на то, что
.
Ортогональность векторов состояния |ψ) и |X) записывается в виде соотношения
Квадрат длины вектора состояния |ψ) есть величина
поэтому нормировки |ψ) к единичному вектору представимо в виде
Если «акт измерения» вызывает скачкообразный переход состояния |ψ) либо в состояние |X), либо во что-то, ортогональное |X), то амплитуда этого скачкообразного перехода в состояние |X) равна (X|ψ) в предположении, что |ψ) и |X) нормированы. Без нормировки вероятность скачкообразного перехода из |ψ) в |X) можно представить в виде
(См. Дирак [1947].)
Для тех, кто знаком с операторным формализмом квантовой механики, это измерение (в обозначениях Дирака) определяется ограниченным эрмитовым оператором |X)(X|. Собственное значение 1 (для нормированного |X)) означает ДА, а собственное значение 0 — НЕТ. (Векторы (X|, |ψ) и т. д. принадлежат гильбертову пространству, дуальному к исходному.) См. фон Нейман [1955], Дирак [1947].
От английского spin — «вращение». — Прим. ред.
В предыдущем описании квантовой системы, состоящей из одной частицы, я прибег к сверхупрощению, проигнорировав спин и предположив, что состояние может быть описано заданием одного лишь пространственного положения. Действительно, существуют некоторые частицы, называемые скалярными, их примерами могут служить ядерные частицы, известные под названием пионов (π-мезоны, см. гл.5 «Масса, материя и реальность»), или некоторые атомы, для которых спин оказывается равным нулю. Для таких (и только для таких) частиц приведенное выше описание в терминах одного лишь пространственного положения действительно будет достаточным.
Здесь и выше я предпочел не загромождать формулы множителями типа 1/√2, которые нужны, если мы требуем, чтобы векторы |→) и |←) были нормированными.
комплексно сопряженные чисел ω и z. (см. прим.151)
Существует стандартная экспериментальная установка, известная как прибор Штерна-Герлаха, которую можно использовать для измерения спинов атомов. Атомы выпускаются в пучок, который проходит в сильно неоднородном магнитном поле, направление неоднородности которого задает направление, в котором производится измерение спина. Пучок расщепляется на два (для атома со спином 1/2 или на большее число частей — для атома с бо́льшим спином), один пучок дает атомы с ответом ДА на измерение спина, а другой — атомы с ответом НЕТ на измерение спина. К сожалению, по некоторым техническим причинам, не имеющим отношения к интересующим нас вопросам, такой прибор не может быть использован для измерения спина электрона, и поэтому приходится прибегать к косвенной процедуре (см. Мотт, Мэсси [1965]). По этой и по другим причинам я предпочитаю не вдаваться в подробности относительно того, как в Действительности измеряют спин электрона.
