Формальное соотношение между разбросом по импульсу и разбросом по координате, то есть между ∆p и ∆x, называется принципом неопределённости Гейзенберга. Вернер Карл Гейзенберг (1901–1976) получил Нобелевскую премию по физике в 1932 году
«за создание квантовой механики, приложения которой, в числе прочего, привели к открытию аллотропных форм водорода».
Принцип неопределённости Гейзенберга выражается простым математическим соотношением: ∆x∙∆p≥h/4π, где h — постоянная Планка, а ∆x и ∆p задают ширину распределений координаты и импульса, как показано на рис. 6.7. (Символ ≥ означает «больше или равно».) Какой будет знак — «равно» (=) или «больше» (>), — зависит от формы распределений вероятности. Знак «равно» соответствует гауссовой кривой, названной так в честь великого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Кривые, изображённые на рис. 6.5–6.7, представляют собой гауссовы кривые. Это стандартные «колоколообразные кривые», которые описывают такие распределения, как, например, число баллов, полученных на экзамене, при правильно подготовленном тесте и достаточном числе людей, которые его сдают. Кривые Гаусса часто встречаются в физике. Знак «больше» применим при других формах распределения. Для любой формы кривой, построенной по конкретному распределению волн, можно определить, каким будет произведение ∆x∙∆p, но оно всегда >h/4π, если только кривая не является гауссовой.
Для понимания природы принципа неопределённости важно рассмотреть случай гауссовых кривых, подобных тем, что изображены на рис. 6.7. В этом случае ∆x∙∆p=h/4π. Данное уравнение показывает, какая информация может быть одновременно известна о положении и импульсе частицы. Величина h/4π является константой. Таким образом, произведение ∆x∙∆p равно константе. Следовательно, если неопределённость импульса ∆p велика, то неопределённость положения ∆x должна быть мала, чтобы их произведение составляло h/4π. С другой стороны, если значение ∆p мало́, то значение ∆x — велико.
Связь между ∆p и ∆x проиллюстрирована на рис. 6.7. Принцип неопределённости гласит, что вы можете знать кое-что об импульсе частицы и кое-что о её положении, но вы не можете точно знать и положение, и импульс частицы в одно и то же время. Эта неопределённость — невозможность одновременно знать и положение, и импульс частицы — резко контрастирует с классической механикой. Для классической теории совершенно принципиально то, что, как показано на рис. 2.5, положение и импульс частицы могут быть точно известны (измерены) одновременно. Квантовая теория утверждает, что невозможно одновременно точно знать положение и импульс. Они могут быть известны лишь с некоторыми неопределённостями — ∆x и ∆p.
Анализируя соотношение для принципа неопределённости ∆x∙∆p=h/4π, рассмотрим, что случится, если делать ∆p всё меньше и меньше. Разделив обе части уравнения на ∆p, получаем:
∆x=h/4π∙∆p.
Поскольку ∆p уменьшается, делитель становится всё меньше и меньше, а значит, ∆x возрастает. В пределе, когда ∆p устремляется к нулю, ∆x стремится к бесконечности. Этот предел имеет глубокий смысл. Если ∆p обращается в нуль, импульс известен совершенно точно, но положение становится совершенно неопределённым. При ∆x=∞ частицу можно с равной вероятностью обнаружить где угодно.
Этот результат согласуется с тем, что мы выяснили, обсуждая рис. 6.1, на котором показан вид волновой функции для собственных значений импульса. Когда частица находится в собственном состоянии импульса, значение её импульса определено совершенно точно. Однако её функция амплитуды вероятности, которая описывает вероятность обнаружить частицу в некоторой области пространства, размазана (делокализована) по всему пространству. Во всех точках вероятность обнаружить частицу одинакова: ∆x=∞. Это контрастирует с волновыми пакетами, изображёнными на рис. 6.7, где суперпозиция собственных состояний импульса порождает состояние, в котором больше нет идеально точно определённого импульса, но зато имеется некоторая информация о положении. Положение и импульс известны с точностью до их неопределённости.
Можно преобразовать соотношение для неопределённостей следующим образом:
∆p=h/4π∙∆x.
Отсюда видно, что в пределе, когда ∆x стремится к нулю (идеально точно определённое положение), ∆p стремится к бесконечности. Если нам совершенно точно известно положение, импульс может иметь любое значение. Волновой пакет, составленный из всех собственных значений импульса (∆p=∞), имеет совершенно точно определённое положение. Можно точно узнать p, но лишь ничего не зная об x; можно точно узнать x, но лишь ничего не зная о p. Это называется дополнительностью. Можно узнать x или p, но не то и другое одновременно.
В классической механике можно знать x И p. В квантовой механике можно знать x ИЛИ p. В общем случае для квантовых — абсолютно малых — частиц можно узнать кое-что о p и кое-что об x, но невозможно узнать точно то и другое одновременно.
7. Фотоны, электроны и бейсбольные мячи
И фотоны, и электроны, и бейсбольные мячи в равной мере описываются квантовой теорией, но для описания последних эта теория не является необходимой. Мячи ведут себя как обычные частицы и в этом отношении с высокой точностью описываются классической механикой. Если и для фотонов, и для электронов, и для мячей подходит одинаковое квантовомеханическое описание, почему только мячи ведут себя как классические частицы? Ответ заключается в том, что мячи являются большими в абсолютном смысле. В этой главе мы разберёмся, почему фотонам и электронам требуется квантовое описание, а бейсбольным мячам — нет. Здесь обсуждаются реальные физические ситуации, в которых проявляется как волновая, так и корпускулярная природа квантовых, то есть имеющих малые в абсолютном смысле размеры, частиц.
Когда частица находится в состоянии суперпозиции, то есть представляет собой волновой пакет, мы обладаем некоторой информацией о её положении и некоторой информацией о её импульсе. Так чем же являются фотоны, электроны и подобные им объекты — волнами или частицами? Ответ состоит в том, что они являются волновыми пакетами. Покажутся они вам частицами или волнами, зависит от выполняемого эксперимента, то есть от вопроса, который вы задаёте.
Если предметом эксперимента является фотоэлектрический эффект, фотоны ведут себя как частицы. Один фотон толкает один электрон и выбивает его из металла (см. рис. 4.3). Фотон — это волновой пакет, порождённый набором импульсных собственных состояний. Набор с широким разбросом ∆p даёт относительно хорошо определённое положение, то есть относительно небольшое значение ∆x. В этом случае фотонный волновой пакет имеет более или менее определённое положение и может вести себя как частица света в электрическом эффекте.
В интерференционном эксперименте (см. рис. 5.1) фотоны ведут себя как волны. Это не должно удивлять, поскольку волновой пакет фактически и является суперпозицией волн, но не волн в обычном классическом смысле, а волн амплитуды вероятности. Обсуждая явления интерференции, мы рассматривали фотонную волну как единую волну амплитуды вероятности. Теперь ясно, что в действительности это волновой пакет, представляющий собой суперпозицию волн. Попадая на расщепляющее пучок полупрозрачное зеркало, он становится суперпозицией двух трансляционных состояний: T1 и T2. Волны амплитуды вероятности состояния T1 интерферируют с соответствующими волнами состояния T2 и порождают интерференционную картину, которая обсуждалась выше.
