§ 6. Обобщение на системы с N состояниями
Мы покончили с системами с двумя состояниями, рассказав все, что хотелось. В дальнейших главах мы перейдем к изучению систем с большим числом состояний. Расширение на системы с N состояниями идей, разработанных для двух состояний, проходит довольно просто. Это делается примерно так.
Если система обладает N различными состояниями, то всякое состояние |y(t)>можно представить как линейную комбинацию произвольной совокупности базисных состояний |t>, где i=l, 2, 3, . . ., N:
Коэффициенты Ci(t) — это амплитуды <i|y(t)>. Поведение амплитуд Сiво времени направляется уравнениями
где энергетическая матрица Hijописывает физику задачи. С виду она такая же, как и для двух состояний. Но только теперь и i, и j должны пробегать по всем N базисным состояниям, и энергетическая матрица Hij(или, если вам больше нравится, гамильтониан) — это теперь матрица NXN, состоящая из N2чисел. Как и прежде, Hij=Hji (до тех пор, пока частицы сохраняются) и диагональные элементы Hiiсуть вещественные числа.
Мы нашли общее решение для всех С в системе с двумя состояниями, когда энергетическая матрица постоянна (не зависит от t). Точно так же нетрудно решить и уравнение (9.58) для системы с N состояниями, когда Н не зависит от времени. Опять мы начинаем с того, что ищем возможное решение, в котором у всех амплитуд зависимость от времени одинакова. Мы пробуем
Если все эти Ciподставить в (9.58), то производные dCi(t)/dt превращаются просто в (-i/h)ECi. Сокращая повсюду на общую экспоненту, получаем
Эта система N линейных алгебраических уравнений для N неизвестных a1 а2, . . ., аn;решение у нее бывает только тогда, когда вам сильно повезет, когда определитель из коэффициентов при всех а равен нулю. Но не нужно чересчур умничать: можете просто начать их решать любым способом, и вы сразу увидите, что решить их удается лишь при некоторых значениях E. (Вспомните, что единственная величина, которая в этих уравнениях подлежит подгонке, это Е.)
Если, впрочем, вы хотите, чтобы все было по форме, перепишите (9.60) так:
Затем примените правило (если оно вам знакомо), что эти уравнения будут иметь решения лишь для тех значений Е, для которых
Каждый член в детерминанте — это просто Hijи только из диагональных отнято Е. Иначе говоря, (9.62) означает просто
Это, конечно, всего-навсего особый способ записывать алгебраические уравнения для Е, складывая вереницы членов, перемножаемых в определенном порядке. Эти произведения дадут все степени Е вплоть до EN.
Значит, у нас есть многочлен N-йстепени, который равняется нулю. У него, вообще говоря, есть N корней. (Нужно помнить, однако, что некоторые из них могут быть кратными корнями; это значит, что два или более корней могут быть равны друг другу.) Обозначим эти N корней так:
(пусть n обозначает n-е порядковое числительное, так что n принимает значения I,II, . . ., N). Некоторые из этих энергий могут быть между собой равны, скажем ЕII=ЕIII, но мы решили все же обозначать их разными именами.
Уравнения (9.60) или (9.61) имеют по одному решению для каждого значения Е [из (9.64)]. Если вы подставите любое из Е, скажем En, в (9.60) и найдете все аi, то получится ряд чисел аi, относящихся к энергии En . Этот ряд мы обозначим аi (n).
Если подставить эти аi (n) в (9.59), то получатся амплитуды Сi(n) того, что состояния с определенной энергией находятся в базисном состоянии |i>. Пусть |n> обозначает вектор состояния для состояния с определенной энергией при t=0. Тогда можно написать
где
Полное состояние с определенной энергией |yn(t)> можно тогда записать так:
или
Векторы состояний |n> описывают конфигурацию состояний с определенной энергией, но с вынесенной зависимостью от времени. Это постоянные векторы, которые, если мы захотим, можно использовать в качестве новой базисной совокупности.
Каждое из состояний |n> обладает тем свойством (в чем легко убедиться), что при действии на него оператором Гамильтона Н получится просто Еn , умноженное на то же состояние:
Значит, энергия Еn — это характеристическое число оператора Гамильтона Н^. Как мы видели, у гамильтониана в общем случае бывает несколько характеристических энергий. Физики обычно называют их «собственными значениями» матрицы Н. Для каждого собственного значения Н^, иными словами, для каждой энергии, существует состояние с определенной энергией, которое мы называли «стационарным». Состояния |n> обычно именуются «собственными состояниями Н^». Каждое собственное состояние отвечает определенному собственному значению Еn.
Далее, состояния |n> (их N штук) могут, вообще говоря, тоже быть выбраны в качестве базиса. Для этого все состояния должны быть ортогональны в том смысле, что для любой нары их, скажем |n> и |m),
<n|m>=0. (9.68)
Это выполнится автоматически, если все энергии различны. Кроме того, можно умножить все аi(n) на подходящие множители, чтобы все состояния были отнормированы: чтобы для всех n было
<n|n>=1. (9.69)
Когда оказывается, что (9.63) случайно имеет два (или больше) одинаковых корня с одной и той же энергией, то появляются небольшие усложнения. По-прежнему имеются две различные совокупности аi, отвечающие двум одинаковым энергиям, но состояния, которые они дают, не обязательно ортогональны. Пусть вы проделали нормальную процедуру и нашли два стационарных состояния с равными энергиями. Обозначим их |m>и |v>. Тогда они не обязательно окажутся ортогональными: если вам не повезло, то обнаружите, что
<m|v>№0.
Но зато всегда верно, что можно изготовить два новых состояния (обозначим их | m'> и |v'>) с теми же энергиями, но ортогональных друг другу:
<m'|v'>=0. (9.70)
Этого можно добиться, составив |m'> и |v'> из подходящих линейных комбинаций |m> и |v> с так подобранными коэффициентами, что (9.70) будет выполнено. Это всегда полезно делать, и мы будем вообще предполагать, что это уже проделано, так что можно будет считать наши собственноэнергетические состояния | n> все ортогональными.
Для интереса докажем, что когда два стационарных состояния обладают разными энергиями, то они действительно ортогональны. Для состояния |n> с энергией Еn
Это операторное уравнение на самом деле означает, что имеется соотношение между числами. Если заполнить недостающие части, то оно означает то же самое, что и
Проделав здесь комплексное сопряжение, получим
Теперь вспомним, что комплексно сопряженная амплитуда — это амплитуда обратного процесса, так что (9.73) можно переписать в виде
Поскольку это уравнение справедливо для всякого i, то его можно «сократить» до
Это уравнение называется сопряженным с (9.71).
Теперь легко доказать, что Еn— число вещественное. Умножим (9.71) на <n|. Получится
