Взгляните на числа, приведенные в этой таблице. Вы видите, что большинство результатов «близки» к 15, так как почти все они расположены между 12 и 18. Чтобы лучше прочувствовать эти результаты, нарисуем график их распределения. Для этого подсчитаем число испытаний, в которых получилось k выпадений «орла», и отложим это число вверх над k. В результате получим фиг. 6.2.
Вертикальные линии показывают число серий, в которых выпадал k раз «орел». Пунктирная кривая показывает ожидаемое число серий с выпадением k раз «орла», полученное из вычисления вероятностей.
Действительно, в 13 сериях было получено 15 выпадений «орла», то же число серий дало 14 выпадений «орла»; 16 и 17 выпадений получались больше чем 13 раз. Должны ли мы из этого делать вывод, что монетам больше нравится ложиться «орлом» вверх? А может быть, мы неправы в выборе числа 15 как наиболее правдоподобного? Может быть, в действительности более правдоподобно, что за 30 испытаний получается 16 выпадений «орла»? Минуточку терпения! Если мы сложим вместе результаты всех серий, то общее число испытаний будет 3000, а общее число выпадений «орла» в этих испытаниях достигает 1492, так что доля испытаний с выпадением «орла» в результате будет 0,497. Это очень близко к половине, но все же несколько меньше. Нет, мы все-таки не можем предполагать, что вероятность выпадения «орла» больше, чем 0,5! Тот факт, что в отдельных испытаниях «орел» чаще выпадал 16 раз, чем 15, является просто случайным отклонением, или флуктуацией. Мы же по-прежнему ожидаем, что наиболее правдоподобным числом выпадений должно быть 15.
Можно спросить: а какова вероятность того, что в серии из 30 испытаний «орел» выпадет 15 раз или 16, или какое-то другое число раз? Мы говорим, что вероятность выпадения «орла» в серии из одного испытания равна 0,5; соответственно вероятность невыпадения тоже равна 0,5. В серии из двух испытаний возможны четыре исхода: ОО, OP, PO, PP. Так как каждый из них равновероятен, то можно заключить: а) вероятность двух выпадений «орла» равна 1/4; б) вероятность одного выпадения «орла» равна 1/4; в) вероятность невыпадения «орла» равна 1/4. Это происходит потому, что существуют две возможности из четырех равных получить одно выпадение «орла» и только одна возможность получить два выпадения или не получить ни одного.
Рассмотрим теперь серию из трех испытаний. Третье испытание с равной вероятностью может дать либо «орел», либо «решку», поэтому существует только один способ получения трех выпадений «орла»: мы должны получить два выпадения «орла» в двух первых испытаниях и затем выпадение «орла» в последнем. Однако получить два выпадения «орла» можно уже тремя способами: после двух выпадений «орла» может выпасть «решка» и еще два способа — после одного выпадения «орла» в первых двух испытаниях выпадет «орел» в третьем. Так что число равновероятных способов получить 3, 2, 1 и 0 выпадений «орла» будет соответственно равно 1, 3, 3 и 1; полное же число всех возможных способов равно 8. Таким образом, получаются следующие вероятности: 1/8. 3/8, 3/8, 1/8.
Эти результаты удобно записать в виде диаграммы (фиг. 6.3).
Фиг. 6.3. Диаграмма, иллюстрирующая число различных возможностей получения 0, 1, 2 и 3 выпадений «орла» в серии из трех испытаний.
Ясно, что эту диаграмму можно продолжить, если мы интересуемся еще большим числом испытаний. На фиг. 6.4 приведена аналогичная диаграмма для шести испытаний.
Фиг. 6.4. Диаграмма, подобная изображенной на фиг. 6.3, для серии из шести испытаний.
Число «способов», соответствующих каждой точке диаграммы,— это просто число различных «путей» (т. е., попросту говоря, последовательность выпадения «орла» и «решки»), которыми можно прийти в эту точку из начальной, не возвращаясь при этом назад, а высота этой точки дает общее число выпадений «орла». Этот набор чисел известен под названием треугольника Паскаля, а сами числа называются биномиальными коэффициентами, поскольку они появляются при разложении выражения (а+b)n, Обычно эти числа на нашей диаграмме обозначаются символом
(), или Сnk(число сочетаний из n по k), где n— полное число
испытаний, а k — число выпадений «орла». Отмечу попутно, что биномиальные коэффициенты можно вычислять по формуле
(6.4)
где символ п!, называемый «n-факториалом», обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n, т. е. 1 · 2 · 3 . . . (n-1)·п. Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность Р (k, n) выпадения k раз «орла»! в серии из n испытаний. Полное число всех возможностей будет 2" (поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет () , так что
(6.5)
Поскольку Р (k, n) — доля тех серий испытаний, в которых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k выпадений «орла» ожидается 100 Р (k, n) раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100 Р (k, 30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали получить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а получили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «правилами игры».
Использованный здесь метод можно применять и в более общей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность результата П) должна быть равна (1-р). В серии из n испытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна
(6.6)
Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.
§ 3. Случайные блуждания
Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х=0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки -х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.
Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением DNза N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.
Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания.
По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали — координата
D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.
(При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.)
Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение D? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.
