Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

Можно показать, что ожидаемая величина D2Nравна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величи­ной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов

блуждания. Эта величина обозначается как <D2N> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного

шага D2всегда равно +1, поэтому, несомненно, <D21> = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

, Ожидаемая величина D2Nдля N>1 может быть получена из dn-1. Если после (N-1) шагов мы оказались на расстоянии DN-1, то еще один шаг даст либо DN=DN--1+1, либо DN=DN-1 -1. Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятно­стью 舣/2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая вели­чина D2Nбудет просто D2N-1+1. Но какова величина D2N_1, вер­нее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» <D2N-1>, так что

<D2N>=<D2N-1+1. (6.8)

Если теперь вспомнить, что <D21>= 1, то получается очень простой результат:

<D2N>=N. (6.9)

Отклонение от начального положения можно характеризо­вать величиной типа расстояния (а не квадрата рас­стояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из <.D2N> и получить так называемое «среднее квадратичное рас­стояние» DC-K:

DC-K=Ц<D2> = ЦN. (6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то DNбудет просто равно No-NP, т. е. разности числа выпа­дений «орла» и «решки». Или поскольку No+Np=N(где N — полное число подбрасываний), то DN= 2No-N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого рас­пределения величины no[она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получил ось и для D. (Выпаде­ние каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между noи D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов k=15 соответствует D = 0, a k = 16 соответствует D= 2 и т. д.).

Отклонение no от ожидаемой величины N/2 будет равно

(6.11)

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

(6.12)

Вспомним теперь наш результат для dc-k. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть рав­но V30 = 5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5:2 = 2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.

Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если мо­нета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

<No>/N = 0,5. (6.13)

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от N/2на величину порядка ЦN/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение No/N.

На фиг. 6.6 отложены числа NO/N для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше.

Фиг. 6.6. Доля выпадений «орла» в некоторой частной последовательности N подбрасываний монеты.

Как видите, при уве­личении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой дан­ной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная веро­ятность, что произойдет большая флуктуация — появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,— это если отклонения близки к ожидаемому 1/2ЦN (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или ка­кого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не пред­сказуемых исхода наблюдения, например камень, который мо­жет упасть только на какую-то из двух сторон), имеется дос­таточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(O) как отношение <No>/N. Но что принять за величину <Nо>? Каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое луч­шее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «ор­ла» в большой серии испытаний и взять <No> =No (наблюден­ное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, ну­жно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение P(О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на 1/2ЦN [если Р(O)близко к половине], Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «эксперимен­тально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

(6.14)

При такой записи подразумевается, что существует некая «ис­тинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспери­ментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле — вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопре­деленности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

§ 4. Распределение вероятностей

Давайте вернемся к проблеме случайных блужданий, но теперь уже с некоторым изменением. Пусть в дополнение к случайному выбору направления шага (+ или -) некоторым непредсказуемым образом меняется также и его длина, причем требуется выполнение одного-единственного условия, чтобы длина шага в среднем была равна единице. Эта задача уже боль­ше похожа на тепловое движение молекул в газе. Обозначим длину шага через S, которая, вообще говоря, может быть лю­бой, но наиболее часто будет принимать значения где-то «вбли­зи» единицы. Для большей определенности давайте положим <S2>=1, или, что эквивалентно, SC-K= 1. Вывод выражения для <D2> при этом останется тем же, за исключением того, что уравнение (6.8) изменится теперь следующим образом:

<D2N>=<D2N-1>+<S2>=<D2N-1>+1. (6.15)

Так что, как и прежде,

<D2N>=N. (6.16)

Каково же в этом случае будет распределение расстояний! Какова, например, вероятность того, что после 30 шагов D ока­жется равным нулю? Вероятность этого равна нулю! Вообще вероятность любой заданной величины D равна нулю. Действи­тельно, совершенно невероятно, чтобы сумма всех шагов назад (при произвольной длине каждого из них) в точности скомпенсировалась шагами вперед. В этом случае мы уже не можем построить график типа изображенного на фиг. 6.2.