Представим себе в изотропной среде точечный источник силы S0, что эквивалентно целому числу S0 некоторых единичных источников. Истекающая жидкость будет двигаться так, как показано на рис. 2.
Рис. 2Если источник действует достаточно долго и распределение жидкости установилось, то в каждый объем в единицу времени втекает ровно столько жидкости, сколько вытекает. При этом, как легко понять, скорость элемента жидкости на расстоянии r от источника будет равна u= S0/4πr2. Представим теперь воображаемую трубку тока жидкости. Она пересекается в каждом месте воображаемой перпендикулярной поверхностью равного давления. Так, на рис. 3 во всех точках поверхности 1 давление равно p1, в точках поверхности 2 — давление p2 и т.д. Представим себе в этой картине единичный кубический объем жидкости, движущийся перпендикулярно к его граням σ1 и σ2 (см. рис. 4). Поскольку сопротивление, испытываемое таким объемом, равно R = ku, то разность давлений на гранях Δp равна —ku. Отсюда следует, что изменение давления на единицу длины вдоль каждой линии тока дается выражением:
Поэтому:
Теперь, вспоминая форму закона Кулона, можно отождествить давление p(r) с потенциалом φ(r), скорость u(r) — с напряженностью электрического поля (или электродвижущей силой — э. д. с.) Е, источник S0 — с электрическим зарядом, коэффициент к естественно связывается с диэлектрической проницаемостью среды ε. При наличии многих источников в разных точках пространства в рамках сформулированной аналогии получится правильное распределение полей и потенциалов. В итоге Максвелл воспроизводит хорошо известные законы электростатики с помощью механической (точнее — гидродинамической) модели, в которой нет никакого дальнодействия.
Рис. 3 Рис. 4Вся физика, относящаяся к этому кругу вопросов, описывается одним уравнением:
где ρ(r) — плотность зарядов, div — стандартная дифференциальная операция, выделяющая из векторного поля E часть, связанную с расходимостью из точки. В статическом случае, когда поле E не зависит от времени, возможна запись E в виде градиента некоторой скалярной функции (потенциала):
E = —grad φ(r). (1)
Все это уже было хорошо известно до Максвелла. Уравнение (А), где вместо поля Е введен потенциал по формуле (1), называется уравнением Пуассона.
Переходя к рассмотрению магнитных явлений и взаимодействия магнитов и токов, Максвелл уже не находит столь простой аналогии. Он становится на путь перевода существующих эмпирических закономерностей на язык дифференциальных уравнений, предполагая, что магнитные величины, в том же смысле, как электрические, как-то могут быть интерпретированы в будущем в терминах гидродинамики новой, магнитной жидкости. Но конкретный образ этой жидкости еще предстоит найти.
В этой работе возникает двойственность, которая будет постоянно прослеживаться дальше. Стремление к механическим аналогиям привязывает Максвелла к своему веку — нельзя же в самом деле писать уравнения для объекта, который явно имеет материальные проявления, в частности, переносит энергию, а с другой стороны, есть «ничто», пустота. В то же время предмет исследования так или иначе не влезает в принятую механическую картину, и Максвеллу приходится следовать логике самих уравнений, оставляя мысль о материальном носителе и признавая неполноту аналогий. Таким образом, то, что он говорил о принципах, на которых должна строиться правильная теория остается (к счастью?) недостижимым идеалом.
Без связи с конкретной моделью Максвелл приходит к дифференциальной формулировке закона индукции Фарадея, но сохраняет надежду, что «при внимательном изучении свойств упругих тел и движения вязких жидкостей» ему удастся найти соответствующий механический образ. Пока же он вводит абстрактный символ A(x,t) — векторный потенциал в современной терминологии — и называет его «электротонической интенсивностью», т.е. мерой «электротонического состояния». Такое гипотетическое состояние вещества было изобретено Фарадеем. Оно проявляется только через свои изменения во времени и пространстве. Сейчас выглядит таинством, как смог Фарадей увидеть эвристическую ценность в таком странном действии — введении ненаблюдаемой характеристики. На первый взгляд не меньшим чудом кажется то, что именно в этом пункте туманным рассуждениям Фарадея Максвелл смог придать однозначную математическую интерпретацию. Максвелл постулирует закон: «Полная электротоническая интенсивность вдоль границы элемента поверхности служит мерой количества магнитной индукции, проходящей через этот элемент или, другими словами, мерой числа силовых линий, пронизывающих данный элемент». В дифференциальной форме (для бесконечно малых элементов поверхности) этот закон записывается в виде:
B = rot A(r,t), (2)
где rot — операция частного дифференцирования по координатам, выделяющая из векторной функции ту ее часть, которая содержит циркуляцию по замкнутому контуру. Величина rot А является вектором, направленным по нормали к площадке (см. рис. 5).
Затем Максвелл постулирует связь напряженности электрического поля с производной по времени от векторного потенциала:
Рис.5Формулируется это так: «Э.д.с., действующая на элемент проводника, измеряется производной по времени от электротонической интенсивности».
Бели мы исключим вспомогательную величину A, объединяя соотношения (2) и (3), то получим одно из уравнений Максвелла:
которое, собственно, и является математической записью закона индукции Фарадея. Интересно, что в данной работе закон индукции не появляется непосредственно в форме уравнения (В). Максвелл ограничивается лишь соотношениями (2) и (3).
Формула (2) фактически содержит в себе третье уравнение Максвелла (первыми двумя условимся считать соотношения (А) и (В)):
div B(r,t) = 0. (С)
Оно получается применением операции div к соотношению (2) с учетом того, что div (rot A) = 0. Уравнение (С) выражает установленный Фарадеем факт, что линии магнитного поля замкнуты — поле не имеет источников.
Разумно предположить, что Максвелл сначала установил уравнения (В) и (С) и лишь затем интерпретировал их в терминах электротонического состояния, введя соотношения (2) и (3). Это единственный способ избежать мистики в попытках понять ход его рассуждений. Отсутствие уравнения (В) в его статье не должно смущать. Для Максвелла вообще Характерно, что ни в статьях, ни в научной переписке он не допускает читателя в свою творческую лабораторию. Наверняка он излагает материал совсем не в той последовательности, как он возникает в процессе работы.
Приведенные выше уравнения (A), (B), (С) верны и остались без изменения до нашего времени. Но сейчас мы знаем, что для законченности картины не хватает еще уравнения (точнее, трех, так как все величины векторные), связывающего изменение магнитного поля в пространстве с внешним током. В первой работе Максвелл записывает его так:
rot B(r,t) = 4πj(r,t) (D’)
и словесно формулирует в виде закона: «Полная магнитная интенсивность вдоль линии, ограничивающей какую-нибудь часть поверхности, служит мерой количества электрического тока, протекающего через эту поверхность». Мы уже имели дело с аналогичным по форме математическим соотношением (см. ф-лу (2) и рис. 5). Уравнение (D’) является дифференциальной записью закона Ампера, который устанавливает характер магнитного поля, создаваемого кольцевым током. (Из (D’) следует, что div j = 0, т.е. уравнение справедливо только для замкнутых токов.)
Итак, Максвелл пишет уравнение (А), исходя из механической аналогии, а уравнения (B), (С), (D’) фактически «из головы» — как способ локальной (для бесконечно малой области пространства) интерпретации ранее известных экспериментальных закономерностей. Позже, в третьей работе, такой путь будет рассматриваться как единственно возможный, но здесь Максвелл считает отсутствие механической картины серьезным недостатком и не чувствует полного удовлетворения достигнутым. Он пишет: «До сих пор мне еще не удалось разработать идею об электротоническом состоянии настолько, чтобы можно было ясно представить его природу и свойства, не прибегая к символам».
Через пять лет он преодолел свои методические затруднения, а вместе с ними трудности включения в схему незамкнутых электрических токов, и написал вторую статью, которая уже целиком основана на модели, использующей «свойства упругих тел и движений вязких жидкостей», — статью, которую современный читатель воспринимает как механического монстра, статью, которую почти невозможно понять. Но именно она содержит «Уравнения Максвелла» в их окончат тельной форме, в ней впервые свет отождествлен с электромагнитными колебаниями, в ней из электромагнитной теории «выжато» все, что было возможно в то время. (Дальнейшее развитие в принципиальном плане будет связано с открытием электрона, пониманием природы электромагнитного тока, выводом уравнении Максвелла в сплошных средах непосредственно из уравнений для зарядов и полей в пустоте, с созданием теории относительности. Но само это развитие будет основано на уравнениях Максвелла и не отменит их в своей области применимости.)
