Ознакомительная версия.
F=kr
(где k – некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к простому геометрическому построению.
§ 5. Векторная алгебра
Теперь мы должны описать законы, или правила, 'регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой–нибудь системе координат составляющими ах, ay , az и bx, by ,bz. Предположим, что кому–то пришло в голову составить три числа ах+bx, ay+by , аг+bz. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах+bх, аy+by, az+bг, если известно, что при изменении системы координат числа ах, ау, az переходят в а'х, а'у, a'z, а bх, bу, bг переходят в b'x, b'y, b'г? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'х +b'x, a'y+b'y, a'z+b'z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах и bх и вычислим ах+bx то окажется, что преобразованное ах+bх есть то же самое, что и ах+bх. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:
с=а +b.
Вектор с обладает интересным свойством:
с=b+а;
это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,
а+(b+с)=(а+b) + с.
Векторы можно складывать в любом порядке.
Каков геометрический смысл а+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.
Фиг. 11.4. Сложение векторов.
Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.
Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами аах, аау, aaz. Докажите сами, что это действительно вектор.
Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором–b=(-1)b. Результат будет тот же.
Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.
Фиг. 11,5. Вычитание векторов.
На этом чертеже изображено
d=а–b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а–b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а–b!
Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:
v=dr/dt.
Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время ?t? Ответ: на ?r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» – во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору ?r=r2–r1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени ?t = t2–t1, то мы получим вектор «средней скорости».
Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус–векторов, соответствующих моментам t+?t и t, деленной на ?t при ?t, стремящемся к нулю:
Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой–то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.
§ 6. Законы Ньютона в векторной записи
Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое–чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:
После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)
m(d2r/dt2)=F (11.14)
Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время ?t=t2–t1,.
Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.
Тот факт, что ускорение – это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой–то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t1 скорость v1, а несколько позже, в момент t2,скорость v2. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v2 и v1, иначе говоря, начертим вектор ? в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7.
Ознакомительная версия.
