Ознакомительная версия.
Работа=F•s. (11.23)
Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления. Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i•i=l. Скалярное произведение i•a равно acos?, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направления i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.
Предположим, что нам задана какая–то система координат х, у и z. Введем три вектора: i – единичный вектор вдоль оси х,
j – единичный вектор вдоль оси y и к – единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i•i=l. Чему же равно произведение i•j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом,
i•i=1,
i•j = 0, j•j=1, (11.24) i•k=0, j•k=0, k•k=l.
Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде
a=ax•i + ay•j+ az•k. (11.25)
Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.
Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться дальше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно определить еще одно произведение двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается в виде аXb. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.
* В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка:
Глава 12 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛЫ
§ 1, Что есть сила?
Хотя изучение законов физики интересно и поучительно, хотя они и помогают нам понимать природу и овладевать ее силами, все же порой стоит остановиться и поразмыслить: что же они на самом деле значат? Смысл любого утверждения – вещь, которая издавна, с незапамятных времен, интересовала и тревожила философов, а уж смысл физических законов тем более должен волновать нас, ведь повсеместно считается, что в этих законах таятся некоторые реальные знания. Смысл истины – это глубочайший философский вопрос; всегда важно вовремя спросить: что это значит?
Спросим же: в чем смысл физических законов Ньютона, в чем смысл формулы F=ma? В чем смысл силы, массы и ускорения? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также определить ускорение, если нам понятно, что такое место и что такое время. Смысл этих понятий мы поэтому не будем обсуждать, а сосредоточимся на новом понятии силы. И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит на него действует сила. Так говорят законы Ньютона, и самое точное и красивое из мыслимых определений силы состояло бы в том, что сила есть масса тела, умноженная на его ускорение.
Имеется, положим, закон, что импульс сохраняется тогда, когда сумма внешних сил равна нулю. И вот у нас спрашивают: «А что это значит: сумма внешних сил равна нулю?» И мы любезно отвечаем: «Когда полный импульс постоянен, то сумма внешних сил равна нулю». Нет, здесь что–то не то. Ведь ничего нового мы при этом не сказали. Обнаружив основной закон, утверждающий, что сила есть масса на ускорение, а потом определив силы как произведение массы на ускорение, мы ничего нового не открываем. Можно также определить силу и на другой манер: движущееся тело, на которое сила не действует, продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Тогда, увидев, что тело не движется по прямой с постоянной скоростью, мы можем утверждать, что на него действует сила. Но такие высказывания не могут составить содержание физики: зачем же ей гонять определения по кругу? Несмотря на это, приведенное выше положение Ньютона, по–видимому, самое точное из всех определений силы, одно из тех, которые так много говорят сердцу математика. И все же оно совершенно бесполезно, потому что из одного определения никогда ничего никто не выводил. Можно день–деньской просиживать в кресле, определяя слова по своему хотению, но совсем иное дело – понять, что происходит при столкновении двух шаров или что бывает, когда груз висит на пружинке. Поведение тел и выбор определений – между этими вещами нет ничего общего.
Пусть, например, мы бы решились говорить, что тело, предоставленное самому себе, лежит на месте и не движется; тогда, заметив, что что–то движется, мы бы стали утверждать, будто на него действует «жила» – мера охоты к перемене мест. Мы получили бы прекрасный новый закон, все было бы хорошо, кроме тех случаев, когда действует «жила». Как видите, все было бы подобно нашему определению силы и точно так же не несло бы в себе никакой информации. Истинное же содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону F=ma; но характерные независимые свойства сил не описал полностью ни Ньютон, ни кто–нибудь еще; поэтому физический закон F=ma– закон неполный. Он подразумевает, что, изучив характеристики величины, определяемой как произведение m на а, мы обнаружим в них некоторую простоту; закон этот дает нам хорошую программу анализа природы, он подсказывает нам, что свойства этой величины – силы – могут оказаться простыми, что ее стоит изучать.
Первый пример таких сил – полный закон тяготения, предложенный Ньютоном. Формулируя свой закон, он отвечал на вопрос: что такое сила? Если бы ничего, кроме тяготения, не существовало, то сочетание этого закона и закона силы (второго закона движения) оказалось бы завершенной теорией. Но, кроме тяготения, существует и многое другое, и мы собираемся пользоваться законами Ньютона во всевозможных положениях. Поэтому нам придется кое–что порассказать о свойствах сил.
К примеру, говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю. Если мы видим, что сила не равна нулю, мы ищем по соседству ее источник. Это предположение совсем не то, что введенная нами «жила».
Одна из важнейших характеристик силы – ее материальное происхождение; и это свойство как раз нельзя считать определением.
Ньютон привел еще одно правило, касающееся сил: силы между взаимодействующими телами равны и противоположны; действие равно противодействию. И это правило, оказывается, не совсем верно. Да и сам закон F=ma не совсем верен; будь он определением, мы бы должны были утверждать, что он точно верен всегда; а на самом деле это не так.
Вы можете заявить: «А мне не нравится эта неточность, я хочу, чтобы все определялось точно, да и во многих книжках написано, что наука – вещь точная, что в ней все определено». Но сколько бы вы ни настаивали на точном определении силы, вы его никогда не получите! Во–первых, и сам Второй закон Ньютона не точен, а во–вторых, чтобы понять физические законы, вы должны усвоить себе раз и навсегда, что все они – в какой–то степени приближения.
Любое простое высказывание является приближенным; в виде примера рассмотрим некоторый предмет… кстати, что такое предмет? «Философы» всегда отвечают: «Ну, например, стул».
Стоит услышать это и сразу становится ясно, что они сами не понимают того, о чем говорят. Что есть стул? Стул имеет определенную массу… Определенную? Насколько определенную? Из него время от времени вылетают атомы – немного, но все же! На него садится пыль, из него сыплется труха, да и лак со временем сходит. Четко определить стул, сказать точно, какие атомы принадлежат ему, какие – воздуху, а какие – лаку, невозможно. Значит, массу стула можно определить лишь приближенно. Точно так же невозможно определить массу отдельного предмета, ибо таких предметов не существует, в мире нет одиноких, обособленных объектов; любая вещь есть смесь множества других, и мы всегда имеем дело с рядом приближений и идеализации. Вся суть в идеализации. В очень хорошем приближении (около 1 к 1010) количество атомов стула за минуту не меняется. Если вас эта точность устраивает, вы имеете право считать массу стула постоянной. Точно так же можно идеально изучить и характеристики силы, стоит только не гнаться за точностью. Вас может не удовлетворить этот приближенный взгляд на природу, который пытается выработать физика (все время стремясь повысить точность приближений), вы можете предпочесть математическое определение, но оно никогда не действует в реальном мире. Математические определения хороши для математики – там можно полностью и до конца следовать логике, а физический мир сложен. Мы об этом уже говорили, приводя такие примеры, как океанские волны и бокал вина. Пытаясь разделить их на части, мы толкуем отдельно о массе вина и отдельно о массе бокала. Но как можно узнать, где одно, где другое, раз одно растворимо в другом? И сила, действующая на обособленный предмет, уже включает неточность, и всякая система рассуждений о реальном мире, по крайней мере сегодня, предполагает разного рода приближения.
Ознакомительная версия.
